Nos problemas 17-22, resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução (função
) que satisfaça essa condição. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial para todo (no domínio onde fizer sentido) e que toma o valor dado em .
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão do tipo
. Reescrevendo a equação dada:
Aqui identificamos:
-
(função que multiplica ), -
(termo do lado direito).
Passo 3
Apresentar o método que vamos usar: fator integrante. Explicando o porquê, passo a passo e de forma intuitiva.
- Para uma equação linear de primeira ordem
, define-se o fator integrante como
- A razão de usar
é a seguinte identidade (mostrada agora): multiplicando a equação por obtemos
Mas a derivada do produto
é
Se escolhermos
tal que
(o que acontece exatamente quando
), então a esquerda é
. Assim a equação fica numa forma facilmente integrável:
Essa é a ideia: transformar a equação numa derivada exata e integrar.
Passo 4
Calcular o fator integrante para nosso caso. Como
(constante),
Multiplicando a equação padrão por
temos
Pelo argumento do passo anterior, a parte esquerda é a derivada do produto:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos a igualdade
para obter
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Explicando os termos:
é uma solução particular da equação não homogênea e
é a solução geral da homogênea associada.
Passo 6
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
em
temos
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcular
e verificar que a equação é satisfeita.
- Derivando
: . - Calcular
:
Agrupando os termos em
e
:
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.