Nos problemas 17-22, resolva o problema de valor inicial.
\frac{d y}{d x}+4 y-e^{-x}=0, \quad y(0)=\frac{4}{3}

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução (função y(x)) que satisfaça essa condição. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}+4y-e^{-x}=0.
  • Condição inicial: y(0)=\dfrac{4}{3}.
    O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para todo x (no domínio onde fizer sentido) e que toma o valor dado em x=0.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão do tipo y'+p(x)y=q(x). Reescrevendo a equação dada:
\frac{dy}{dx}+4y=e^{-x}.
Aqui identificamos:
  • p(x)=4 (função que multiplica y),
  • q(x)=e^{-x} (termo do lado direito).

Passo 3

Apresentar o método que vamos usar: fator integrante. Explicando o porquê, passo a passo e de forma intuitiva.
  • Para uma equação linear de primeira ordem \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x), define-se o fator integrante \mu(x) como
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
  • A razão de usar \mu é a seguinte identidade (mostrada agora): multiplicando a equação por \mu obtemos
\mu y' + \mu p y = \mu q.
Mas a derivada do produto \mu y é
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y' + \mu' y.
Se escolhermos \mu tal que \mu'=\mu p (o que acontece exatamente quando \mu=\exp(\int p)), então a esquerda é \dfrac{d}{dx}(\mu y). Assim a equação fica numa forma facilmente integrável:
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu q.
Essa é a ideia: transformar a equação numa derivada exata e integrar.

Passo 4

Calcular o fator integrante para nosso caso. Como p(x)=4 (constante),
\mu(x)=\exp\!\left(\int 4\,dx\right)=\exp(4x)=e^{4x}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(x) temos
e^{4x}\frac{dy}{dx}+4e^{4x}y=e^{4x}\cdot e^{-x}=e^{3x}.
Pelo argumento do passo anterior, a parte esquerda é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{4x}y\big)=e^{3x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos a igualdade
\frac{d}{dx}\big(e^{4x}y\big)=e^{3x}
para obter
e^{4x}y=\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}+C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y(x)=\frac{1}{3}e^{3x}\cdot e^{-4x} + C e^{-4x} = \frac{1}{3}e^{-x} + C e^{-4x}.
Explicando os termos: \dfrac{1}{3}e^{-x} é uma solução particular da equação não homogênea e C e^{-4x} é a solução geral da homogênea associada.

Passo 6

Determinar a constante C usando a condição inicial y(0)=\dfrac{4}{3}. Substituindo x=0 em
y(0)=\frac{1}{3}e^{0}+C e^{0}=\frac{1}{3}+C,
temos
\frac{1}{3}+C=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad C=1.
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{1}{3}e^{-x}+e^{-4x}.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcular y' e verificar que a equação é satisfeita.
  • Derivando y: y'(x)=-\frac{1}{3}e^{-x}-4e^{-4x}.
  • Calcular y'+4y-e^{-x}:
\left(-\frac{1}{3}e^{-x}-4e^{-4x}\right)+4\left(\frac{1}{3}e^{-x}+e^{-4x}\right)-e^{-x}.
Agrupando os termos em e^{-x} e e^{-4x}:
\left(-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}-1\right)e^{-x} + (-4+4)e^{-4x} = 0\cdot e^{-x}+0\cdot e^{-4x}=0.
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Resposta

y(x)=\frac{1}{3}e^{-x}+e^{-4x}

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