Nos problemas 1-6, determine se a equação diferencial dada é separável:
4. \frac{d y}{d x}=\frac{y e^{x+y}}{x^{2}+2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede para decidir se ela é separável:
\frac{d y}{d x}=\frac{y e^{x+y}}{x^{2}+2}.
Informações relevantes que temos:
  • A equação é de primeira ordem, escrita na forma \dfrac{d y}{d x}= (uma expressão em x e y).
  • O objetivo é apenas determinar se é possível escrever o lado direito como produto de uma função que dependa só de x por uma função que dependa só de y (isto é, verificar separabilidade).

Passo 2

O que significa “separável” (explicação didática):
  • Uma equação diferencial de primeira ordem \dfrac{d y}{d x}=F(x,y) é separável se for possível escrever
F(x,y)=g(x)\,h(y),
ou seja, um produto de uma função g que depende somente de x por uma função h que depende somente de y.
  • Se for separável, podemos reorganizar a equação para isolar termos em y multiplicando em um lado e termos em x no outro, obtendo algo como
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx,
e então integrar os dois lados.

Passo 3

Análise algébrica do lado direito (passo a passo, sem pular etapas):
  • A expressão dada é \dfrac{y e^{x+y}}{x^{2}+2}.
  • Use a regra dos expoentes para separar e^{x+y}:
e^{x+y}=e^{x}\,e^{y}.
  • Substituindo na expressão obtemos
\frac{y e^{x+y}}{x^{2}+2}=\frac{y\,e^{x}\,e^{y}}{x^{2}+2}.
  • Reagrupando fatores que dependem só de x e só de y:
\frac{y\,e^{x}\,e^{y}}{x^{2}+2}=\underbrace{\left(\frac{e^{x}}{x^{2}+2}\right)}_{g(x)}\cdot\underbrace{\left(y\,e^{y}\right)}_{h(y)}.
  • Assim estamos escrevendo o lado direito como g(x)h(y) com g(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{2}+2} e h(y)=y e^{y}.

Passo 4

Conclusão sobre separabilidade e procedimento para separar:
  • Como conseguimos F(x,y)=g(x)h(y), a equação é separável.
  • Agora mostro a separação explícita (como se faria na prova), isolando y-dependências de um lado e x-dependências do outro:
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x}}{x^{2}+2}\,y\,e^{y}.
  • Dividindo ambos os lados por y\,e^{y} e multiplicando ambos os lados por dx (operações permitidas enquanto y\neq0; no caso y=0 é solução particular que pode ser verificada separadamente),
\frac{1}{y\,e^{y}}\,dy=\frac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx.
  • Observação prática para a prova: escreva sempre os passos de divisão/multiplicação explícitos, como acima, para justificar a separação.

Passo 5

Integração (obtenção da solução implícita) e comentários sobre primitivas:
  • Integre ambos os lados:
\int \frac{1}{y\,e^{y}}\,dy=\int \frac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx + C,
onde C é constante de integração.
  • Simplificando a integranda da esquerda: \dfrac{1}{y\,e^{y}}=e^{-y}/y, então a integral da esquerda é
\int \frac{e^{-y}}{y}\,dy.
Essa integral não tem primitiva elementar expressa em funções elementares; ela é dada em termos da função especial conhecida como integral exponencial. Uma forma prática de escrevê-la é
\int \frac{e^{-y}}{y}\,dy = -\operatorname{Ei}(-y)+C_1,
onde \operatorname{Ei} é a função exponencial integral (isso é informação de uso avançado; na prova vale deixar a integral indicada se a determinação da primitiva não for exigida).
  • A integral da direita
\int \frac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx
também não possui primitiva elementar simples (pode ser expressa por funções especiais ou deixada como integral indefinida).
  • Portanto, a solução geral é mais conveniente escrever de forma implícita:
\int \frac{e^{-y}}{y}\,dy=\int \frac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx + C.
Ou, usando a exponencial integral na esquerda,
-\operatorname{Ei}(-y)=\int \frac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx + C.

Passo 6

Resumo final e dica para a prova:
  • Resposta direta solicitada: a equação é separável porque o lado direito pode ser escrito como produto de uma função só de x e uma função só de y.
  • Na prova: mostre a fatoração e^{x+y}=e^{x}e^{y}, identifique g(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{2}+2} e h(y)=y e^{y}, escreva a separação \dfrac{1}{y e^{y}}\,dy=\dfrac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx e, se pedirem, apresente a solução implícita com as integrais colocadas (não é necessário encontrar primitivas elementares aqui).

Resposta

Separável. Solução implícita:
\displaystyle \int \frac{e^{-y}}{y}\,dy=\int \frac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx + C

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