Nos problemas de 24 a 26 , encontre a transformada de Laplace Y(s)=L(y) da solução do problema de valor inicial dado. Um método para determinar a transformada inversa é desenvolvido na Seção 6.3.
y^prime prime+y=llt, & 0 <= t<1, 0, & 1 <= t<infty ; y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + y = f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
com
f(t)=t,&0<= t<1,0,&t>=1
Queremos Y(s)=Ly(t). Como o forçante é em partes, usamos a função de Heaviside:
f(t)=tl(1 - H(t-1)r)=t - t,H(t-1)

Passo 2

Calculamos a transformada de f:
Lt=1/s^2.
Para Lt,H(t-1) escrevemos
t,H(t-1)=(t-1),H(t-1)+H(t-1),
de modo que
L(t-1)H(t-1)=e^-s1s^2, LH(t-1)=e^-s1s
Logo
Lt,H(t-1) =e^-sl(1s^2+1sr) =e^-ss+1s^2
Assim
Lf(t) =1s^2-e^-ss+1s^2

Passo 3

Aplicando a transformada em y''+y=f(t) e usando y(0)=y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s)+Y(s)=Lf(t) Longrightarrow (s^2+1)Y(s) =1s^2-e^-ss+1s^2
Isolando Y(s) vem
Y(s) = 1s^2-e^-ss+1s^2s^2+1 =1s^2(s^2+1) -;e^-s,s+1s^2(s^2+1)

Resposta

Y(s) =1s^2,(s^2+1) ;-;e^-s,s+1s^2,(s^2+1)

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