Nos problemas de 24 a 26 , encontre a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial dado. Um método para determinar a transformada inversa é desenvolvido na Seção 6.3.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + y = f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
com
f(t)=t,&0<= t<1,0,&t>=1
Queremos Y(s)=Ly(t). Como o forçante é em partes, usamos a função de Heaviside:
f(t)=tl(1 - H(t-1)r)=t - t,H(t-1)
Passo 2
Calculamos a transformada de f: Lt=1/s^2.
Para Lt,H(t-1) escrevemos
t,H(t-1)=(t-1),H(t-1)+H(t-1),
de modo que
L(t-1)H(t-1)=e^-s1s^2, LH(t-1)=e^-s1s
Logo
Lt,H(t-1) =e^-sl(1s^2+1sr) =e^-ss+1s^2
Assim
Lf(t) =1s^2-e^-ss+1s^2
Passo 3
Aplicando a transformada em y''+y=f(t) e usando y(0)=y'(0)=0, obtemos