Resolva por transformada de Laplace a seguinte equação diferencial:
d^2 dotxd t^2+3 d xd t+2 x=t
que verifica as condições iniciais: x0=x0^prime=0 para t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O que a gente tem aqui é uma equação do segundo grau:
d^2xdt^2 + 3 dxdt + 2x = t
E as condições iniciais são x(0) = 0 e x'(0) = 0 . Vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace para transformar essa equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, resolver lá e depois voltar para o tempo com a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
  • A Transformada de d^2xdt^2 é s^2X(s) - s x(0) - x'(0)
  • A Transformada de dxdt é sX(s) - x(0)
  • A Transformada de x é X(s)
  • A Transformada de t é 1s^2
Substituindo na equação:
s^2X(s) - s cdot 0 - 0 + 3 ( sX(s) - 0 ) + 2X(s) = 1s^2

Passo 3

Agora, simplificamos a equação:
s^2X(s) + 3sX(s) + 2X(s) = 1s^2
Podemos fatorar X(s) dos termos à esquerda:
X(s) (s^2 + 3s + 2) = 1s^2

Passo 4

Vamos isolar X(s) :
X(s) = 1s^2(s^2 + 3s + 2)
Agora, precisamos simplificar essa fração. Primeiro, fatoramos o denominador:
s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)
Então, temos:
X(s) = 1s^2(s + 1)(s + 2)

Passo 5

Para encontrar X(s) de uma forma que possamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace, vamos decompor a fração em frações parciais:
1s^2(s + 1)(s + 2) = As + Bs^2 + Cs + 1 + Ds + 2
Multiplicando ambos os lados por s^2(s + 1)(s + 2) para eliminar os denominadores:
1 = A s (s + 1)(s + 2) + B (s + 1)(s + 2) + C s^2(s + 2) + D s^2(s + 1)

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de A , B , C e D substituindo valores de s que simplificam a equação:
  1. Para s = 0 :
1 = B (0 + 1)(0 + 2) Rightarrow 1 = 2B Rightarrow B = 12
  1. Para s = -1 :
1 = C (-1)^2(-1 + 2) Rightarrow 1 = C (1)(1) Rightarrow C = 1
  1. Para s = -2 :
1 = D (-2)^2(-2 + 1) Rightarrow 1 = D (4)(-1) Rightarrow D = -14
  1. Para encontrar A , podemos usar qualquer outro valor de s . Vamos usar s = 1 :
1 = A (1)(2)(3) + 12 (2)(3) + 1 (1)^2(3) + (-14) (1)^2(2)
Simplificando:
1 = 6A + 3 + 3 - 12 Rightarrow 6A = 1 - 6 + 12 Rightarrow 6A = -52 Rightarrow A = -512

Passo 7

Agora que encontramos todos os coeficientes, podemos reescrever X(s) :
X(s) = -512s + 12s^2 + 1s + 1 + -14s + 2
Simplificando:
X(s) = -512 cdot 1s + 12 cdot 1s^2 + 1s + 1 - 14 cdot 1s + 2

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente:
  1. L^-1 1s = 1
  2. L^-1 1s^2 = t
  3. L^-1 1s + a = e^-a t
Aplicando isso:
x(t) = -512 cdot 1 + 12 t + e^-1 t - 14 e^-2 t

Passo 9

Simplificando a expressão final:
x(t) = -512 + 12 t + e^-t - 14 e^-2t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x(t) = -512 + 12 t + e^-t - 14 e^-2t

Exercícios relacionados