Resolva por transformada de Laplace a seguinte equação diferencial:
que verifica as condições iniciais:
para
.
que verifica as condições iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O que a gente tem aqui é uma equação do segundo grau:
E as condições iniciais são
e
. Vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace para transformar essa equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, resolver lá e depois voltar para o tempo com a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
- A Transformada de
é - A Transformada de
é - A Transformada de
é - A Transformada de
é
Substituindo na equação:
Passo 3
Agora, simplificamos a equação:
Podemos fatorar
dos termos à esquerda:
Passo 4
Vamos isolar
:
Agora, precisamos simplificar essa fração. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, temos:
Passo 5
Para encontrar
de uma forma que possamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace, vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de
,
,
e
substituindo valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para encontrar
, podemos usar qualquer outro valor de . Vamos usar :
Simplificando:
Passo 7
Agora que encontramos todos os coeficientes, podemos reescrever
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Aplicando isso:
Passo 9
Simplificando a expressão final:
Resposta
A solução da equação diferencial é: