Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime}-9 y=9 x / e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-9y=\frac{9x}{e^{3x}}
pelo método da variação dos parâmetros e definir um intervalo onde a solução geral seja válida.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A equação é linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo é g(x)=\dfrac{9x}{e^{3x}}=9x e^{-3x}.
  • É exigido usar variação dos parâmetros (logo vamos procurar uma solução particular da forma y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x) onde y_1,y_2 formam uma base de soluções do problema homogêneo).

Passo 2

Encontremos primeiro a solução geral do problema homogêneo associado:
y''-9y=0.
A equação característica é \;r^2-9=0\;, cujas raízes são \;r=3 e \;r=-3. Portanto uma base de soluções é
y_1(x)=e^{3x},\qquad y_2(x)=e^{-3x}.
Verifiquemos o Wronskiano (para garantir que y_1,y_2 são linearmente independentes):
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} e^{3x} & e^{-3x} \\\\ 3e^{3x} & -3e^{-3x} \end{vmatrix} = e^{3x}(-3e^{-3x}) - e^{-3x}(3e^{3x}) = -3-3=-6.
Como W(x)=-6\neq0 para todo x, as funções são independentes e o método de variação dos parâmetros é aplicável em qualquer intervalo real.

Passo 3

Recordando a ideia da variação dos parâmetros (explicação curta e intuitiva): em vez de constantes C_1,C_2\) usamos funções \(u_1(x),u_2(x)\) e impomos a condição auxiliar \[u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0
para simplificar as equações. A outra equação que vem da substituição na EDO é
u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=g(x),
onde g(x) é o termo não homogêneo (dividido pelo coeficiente principal, que aqui é 1). Portanto o sistema para u_1',u_2' é
\begin{cases} u_1'y_1+u_2'y_2=0,\\[4pt] u_1'y_1'+u_2'y_2'=g(x). \end{cases}
Resolvendo esse sistema (fórmulas padrão), obtemos
u_1'=-\frac{g(x)y_2}{W(x)},\qquad u_2'=\frac{g(x)y_1}{W(x)}.
Aqui g(x)=9x e^{-3x}\], \(y_1=e^{3x}, y_2=e^{-3x} e W=-6.]

Passo 4

Calculemos u_1' e u_2' explicitamente:
u_1'=-\frac{g(x)y_2}{W}=-\frac{(9x e^{-3x})\cdot e^{-3x}}{-6} =\frac{9x e^{-6x}}{6}=\frac{3}{2}\,x e^{-6x}.
u_2'=\frac{g(x)y_1}{W}=\frac{(9x e^{-3x})\cdot e^{3x}}{-6}=\frac{9x}{-6}=-\frac{3}{2}\,x.

Passo 5

Agora integramos u_1' passo a passo (integração por partes). Temos
u_1(x)=\int \frac{3}{2}\,x e^{-6x}\,dx.
Fatorando \tfrac{3}{2}:
u_1(x)=\frac{3}{2}\int x e^{-6x}\,dx.
Para \int x e^{-6x}\,dx usamos integração por partes: escolha u=x e dv=e^{-6x}dx. Então du=dx e v=\int e^{-6x}dx=-\frac{1}{6}e^{-6x}. Assim
\int x e^{-6x}\,dx = x\left(-\frac{1}{6}e^{-6x}\right)-\int 1\cdot\left(-\frac{1}{6}e^{-6x}\right)dx = -\frac{1}{6}x e^{-6x} + \frac{1}{6}\int e^{-6x}dx.
E \int e^{-6x}dx=-\frac{1}{6}e^{-6x}, logo
\int x e^{-6x}\,dx = -\frac{1}{6}x e^{-6x} + \frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}e^{-6x}\right) =-\frac{1}{6}x e^{-6x} -\frac{1}{36}e^{-6x}.
Multiplicando por \tfrac{3}{2}:
u_1(x)=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}x e^{-6x} -\frac{1}{36}e^{-6x}\right) = -\frac{1}{4}x e^{-6x} -\frac{1}{24}e^{-6x} + C_1.
Para obter uma solução particular basta tomar a constante de integração C_1=0 (qualquer constante será absorvida na solução homogênea), portanto escolha
u_1(x)=-\frac{1}{4}x e^{-6x} -\frac{1}{24}e^{-6x}.

Passo 6

Integramos u_2':
u_2(x)=\int -\frac{3}{2}x\,dx = -\frac{3}{2}\cdot\frac{x^2}{2}= -\frac{3}{4}x^2 + C_2.
Tomamos C_2=0 para a parte particular, ficando
u_2(x)=-\frac{3}{4}x^2.

Passo 7

Formamos a solução particular pela combinação
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).
Substituindo y_1=e^{3x}, y_2=e^{-3x}, u_1 e u_2:
y_p(x)=\left(-\frac{1}{4}x e^{-6x}-\frac{1}{24}e^{-6x}\right)e^{3x} +\left(-\frac{3}{4}x^2\right)e^{-3x}.
Simplificando e^{-6x}e^{3x}=e^{-3x}:
y_p(x)= -\frac{1}{4}x e^{-3x} -\frac{1}{24}e^{-3x} -\frac{3}{4}x^2 e^{-3x}.
Agrupando termos com o fator comum e^{-3x}:
y_p(x) = -e^{-3x}\!\left(\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{24}\right).

Passo 8

A solução geral é soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-3x} - e^{-3x}\!\left(\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{24}\right).
Como os coeficientes da EDO e o termo não homogêneo são contínuos para todo x\in\mathbb{R} e o Wronskiano é constante não nulo, a solução geral é válida em todo o intervalo real (-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-3x}-e^{-3x}\!\left(\frac{3}{4}x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{24}\right)
Intervalo de validade: (-\infty,\infty)

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