Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida. y^{\prime \prime}-9 y=9 x / e^{3 x}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-9y=\frac{9x}{e^{3x}}
pelo método da variação dos parâmetros e definir um intervalo onde a solução geral seja válida.
Informações fornecidas que vamos usar:
A equação é linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes.
O termo não homogêneo é g(x)=\dfrac{9x}{e^{3x}}=9x e^{-3x}.
É exigido usar variação dos parâmetros (logo vamos procurar uma solução particular da forma y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x) onde y_1,y_2 formam uma base de soluções do problema homogêneo).
Passo 2
Encontremos primeiro a solução geral do problema homogêneo associado:
y''-9y=0.
A equação característica é \;r^2-9=0\;, cujas raízes são \;r=3 e \;r=-3. Portanto uma base de soluções é
y_1(x)=e^{3x},\qquad y_2(x)=e^{-3x}.
Verifiquemos o Wronskiano (para garantir que y_1,y_2 são linearmente independentes):
Como W(x)=-6\neq0 para todo x, as funções são independentes e o método de variação dos parâmetros é aplicável em qualquer intervalo real.
Passo 3
Recordando a ideia da variação dos parâmetros (explicação curta e intuitiva): em vez de constantes C_1,C_2\) usamos funções \(u_1(x),u_2(x)\) e impomos a condição auxiliar
\[u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0
para simplificar as equações. A outra equação que vem da substituição na EDO é
u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=g(x),
onde g(x) é o termo não homogêneo (dividido pelo coeficiente principal, que aqui é 1). Portanto o sistema para u_1',u_2' é
Para obter uma solução particular basta tomar a constante de integração C_1=0 (qualquer constante será absorvida na solução homogênea), portanto escolha
Como os coeficientes da EDO e o termo não homogêneo são contínuos para todo x\in\mathbb{R} e o Wronskiano é constante não nulo, a solução geral é válida em todo o intervalo real (-\infty,\infty).