Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida. y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x} / x
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-4y=\frac{e^{2x}}{x}
pelo método da variação dos parâmetros e definir um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Informações fornecidas:
A equação é linear de segunda ordem, não homogênea, com termo não homogêneo \dfrac{e^{2x}}{x}.
Há singularidade aparente em x=0 por causa do fator 1/x.
Precisa-se da solução geral y(x) e de um intervalo (sem conter pontos onde os coeficientes ou o termo não homogêneo deixam de ser contínuos) em que essa solução seja válida.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y''-4y=0.
Para isso usamos a equação característica: r^{2}-4=0. Resolvendo,
Comentário rápido (para a prova): resolver a homogênea exige sempre montar a equação característica r^{2}+pr+q=0 quando os coeficientes são constantes; as raízes dão expoentes das exponenciais.
Passo 3
Agora aplicamos variação dos parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1}\) e \(u_{2}\) são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
\[u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
para simplificar os cálculos; substituindo y_{p} na equação original obtemos o sistema linear para u_{1}' e u_{2}':
Observação útil: o Wronskiano é constante (não depende de x) e diferente de zero, portanto y_{1},y_{2} são uma base de soluções da homogênea em qualquer intervalo.]
Passo 5
Aplicamos as fórmulas para u_{1}' e u_{2}' com r(x)=\dfrac{e^{2x}}{x} e W=-4:
A integral \int \dfrac{e^{4x}}{x}\,dx não tem primitiva elementar expressa por funções elementares; ela é expressa pela função integral exponencial. Definimos a função exponencial integral \operatorname{Ei} (útil para provas rápidas):
Intervalo de validade: o termo não homogêneo \dfrac{e^{2x}}{x} é discontinuo em x=0, e a primitiva \ln|x| também exige x\neq0. Portanto a solução geral que obtivemos é válida em qualquer intervalo que não contenha 0, por exemplo em
(0,\infty).
Analogamente pode-se tomar um intervalo à esquerda de zero, por exemplo (-\infty,0). Em contextos reais padrão escolhe-se x>0 se desejar evitar problemas com o comportamento da \operatorname{Ei} em torno de zero.