Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x} / x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-4y=\frac{e^{2x}}{x}
pelo método da variação dos parâmetros e definir um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Informações fornecidas:
  • A equação é linear de segunda ordem, não homogênea, com termo não homogêneo \dfrac{e^{2x}}{x}.
  • Há singularidade aparente em x=0 por causa do fator 1/x.
  • Precisa-se da solução geral y(x) e de um intervalo (sem conter pontos onde os coeficientes ou o termo não homogêneo deixam de ser contínuos) em que essa solução seja válida.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y''-4y=0.
Para isso usamos a equação característica: r^{2}-4=0. Resolvendo,
r^{2}-4=(r-2)(r+2)=0 \quad\Rightarrow\quad r=2,\;-2.
Logo duas soluções fundamentais independentes são
y_{1}(x)=e^{2x},\qquad y_{2}(x)=e^{-2x}.
A solução geral da homogênea é, portanto,
y_{h}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Comentário rápido (para a prova): resolver a homogênea exige sempre montar a equação característica r^{2}+pr+q=0 quando os coeficientes são constantes; as raízes dão expoentes das exponenciais.

Passo 3

Agora aplicamos variação dos parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1}\) e \(u_{2}\) são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar \[u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
para simplificar os cálculos; substituindo y_{p} na equação original obtemos o sistema linear para u_{1}' e u_{2}':
\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=\dfrac{e^{2x}}{x}. \end{cases}
Esse sistema tem solução expressa em termos do Wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}.
As fórmulas padrão (que vale a pena memorizar para a prova) são
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,r(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,r(x)}{W(x)},
onde r(x)\] é o termo não homogêneo (no nosso caso \(r(x)=\dfrac{e^{2x}}{x}).]

Passo 4

Calculamos o Wronskiano com y_{1}=e^{2x} e y_{2}=e^{-2x}. As derivadas são y_{1}'=2e^{2x} e y_{2}'=-2e^{-2x}. Então
W(x)=\begin{vmatrix} e^{2x} & e^{-2x} \\[4pt] 2e^{2x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = e^{2x}\cdot(-2e^{-2x})-e^{-2x}\cdot(2e^{2x})=-2-2=-4.
Observação útil: o Wronskiano é constante (não depende de x) e diferente de zero, portanto y_{1},y_{2} são uma base de soluções da homogênea em qualquer intervalo.]

Passo 5

Aplicamos as fórmulas para u_{1}' e u_{2}' com r(x)=\dfrac{e^{2x}}{x} e W=-4:
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,r(x)}{W}=-\frac{e^{-2x}\cdot \dfrac{e^{2x}}{x}}{-4} =-\frac{1}{-4}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}?
Vamos calcular com cuidado passo a passo: e^{-2x}\cdot e^{2x}=1, então
u_{1}'(x)=-\frac{1/x}{-4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{4x}.
Integramos para obter u_{1}:
u_{1}(x)=\int u_{1}'(x)\,dx=\int \frac{1}{4x}\,dx=\frac{1}{4}\ln|x| + C_{a}.
Constante de integração pode ser apagada (incorporada em C_{1}e^{2x} da homogênea), então tomamos
u_{1}(x)=\frac{1}{4}\ln|x|.
Agora u_{2}':
u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,r(x)}{W}=\frac{e^{2x}\cdot \dfrac{e^{2x}}{x}}{-4} =-\frac{1}{4}\cdot\frac{e^{4x}}{x}.
Para u_{2}(x) precisamos integrar
u_{2}(x)=\int u_{2}'(x)\,dx=-\frac{1}{4}\int \frac{e^{4x}}{x}\,dx.
A integral \int \dfrac{e^{4x}}{x}\,dx não tem primitiva elementar expressa por funções elementares; ela é expressa pela função integral exponencial. Definimos a função exponencial integral \operatorname{Ei} (útil para provas rápidas):
\text{definição útil:}\qquad \frac{d}{dt}\big(\operatorname{Ei}(t)\big)=\frac{e^{t}}{t}\quad\text{para }t\neq0.çãú
Assim, fazendo t=4x e lembrando dt=4\,dx, obtemos
\int \frac{e^{4x}}{x}\,dx = \operatorname{Ei}(4x)+\text{const}.
Logo
u_{2}(x)=-\frac{1}{4}\operatorname{Ei}(4x)+C_{b},
e podemos desprezar C_{b} (vai para a homogênea), ficando
u_{2}(x)=-\frac{1}{4}\operatorname{Ei}(4x).
Comentário didático: na prova, quando aparecer \int e^{ax}/x\,dx, reconheça imediatamente a \operatorname{Ei}(ax); memorizar isto economiza tempo.

Passo 6

Agora montamos a solução particular
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Substituindo u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p}(x)=\left(\frac{1}{4}\ln|x|\right)e^{2x}+\left(-\frac{1}{4}\operatorname{Ei}(4x)\right)e^{-2x}.
Ou seja
y_{p}(x)=\frac{1}{4}e^{2x}\ln|x|-\frac{1}{4}e^{-2x}\operatorname{Ei}(4x).
Portanto a solução geral da equação completa é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+\frac{1}{4}e^{2x}\ln|x|-\frac{1}{4}e^{-2x}\operatorname{Ei}(4x).

Passo 7

Intervalo de validade: o termo não homogêneo \dfrac{e^{2x}}{x} é discontinuo em x=0, e a primitiva \ln|x| também exige x\neq0. Portanto a solução geral que obtivemos é válida em qualquer intervalo que não contenha 0, por exemplo em
(0,\infty).
Analogamente pode-se tomar um intervalo à esquerda de zero, por exemplo (-\infty,0). Em contextos reais padrão escolhe-se x>0 se desejar evitar problemas com o comportamento da \operatorname{Ei} em torno de zero.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+\frac{1}{4}e^{2x}\ln|x|-\frac{1}{4}e^{-2x}\operatorname{Ei}(4x)
Intervalo de validade: x\in(0,\infty) (ou qualquer intervalo que não contenha 0, por exemplo (-\infty,0)).

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