Nos Problemas 25-34, determine a expansão de co-senos ou senos em meia escala da função indicada. f(x)=\operatorname{sen} x, 0<x<\pi
Passo 1
O enunciado pede: determinar a expansão em meia‑escala (ou seja, série de senos ou de cossenos definida em 0<x<\pi) para a função
f(x)=\operatorname{sen} x,\qquad 0<x<\pi.
Informações fornecidas e observações imediatas (peguei estes dados do enunciado):
A função é f(x)=\operatorname{sen} x definida no intervalo (0,\pi).
Os valores nos extremos são f(0)=\operatorname{sen} 0=0 e f(\pi)=\operatorname{sen}\pi=0.
A tarefa é escrever f como série de senos ou de cossenos em meia‑escala. Não foi especificado qual escolher; iremos construir a série de senos (meia‑escala ímpar) porque coincide bem com os pontos de contorno 0 e \pi.
Passo 2
O que é uma expansão em série de senos em meia‑escala e por que usar aqui.
A série de senos em meia‑escala em (0,\pi)\) tem a forma
\[f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} b_n\operatorname{sen}(nx),
O símbolo \sim indica que a série de Fourier (neste caso só com termos \operatorname{sen}(nx)) converge para f(x) no intervalo, salvo questões pontuais de convergência nas fronteiras (aqui não há problema porque f(0)=f(\pi)=0).
A fórmula de b_n vem da ortogonalidade das funções \operatorname{sen}(nx) no intervalo [0,\pi]. Vamos demonstrar essa ortogonalidade — é a ferramenta chave.
Mini‑aula sobre ortogonalidade (essencial para achar b_n):
Se m\neq n\] então \[m-n é um inteiro não nulo e tanto \int_{0}^{\pi}\cos((m-n)x)\,dx=0 quanto \int_{0}^{\pi}\cos((m+n)x)\,dx=0; daí a integral vale 0.
Se m=n então \cos((m-n)x)=\cos 0=1 e \cos((m+n)x)=\cos(2mx) cuja integral é zero; portanto
Por isso, ao multiplicar a série por \operatorname{sen}(nx)\] e integrar de \(0 a \pi, só sobrevive o termo com o mesmo índice n, levando à fórmula de b_n indicada acima.]
Passo 3
Aplicar a fórmula de coeficientes ao caso f(x)=\operatorname{sen} x.
Interpretação e conclusão prática — como usar isso na prova.
Encontramos que na série de senos em meia‑escala os únicos coeficientes não nulos são b_1=1 e todos os outros b_n são zero. Isso significa que a série de senos coincide exatamente com a própria função:
Em termos de extensão: a série de senos corresponde à extensão ímpar de f para (- \pi,\pi). Neste caso particular a extensão ímpar é simplesmente \operatorname{sen} x estendida de forma ímpar (mas não é preciso usar isso para calcular os coeficientes aqui, só entender o significado).
Dica prática para prova: sempre cheque valores nos extremos; quando f(0)=f(\pi)=0 a expansão em série de senos costuma ser muito simples. Use a ortogonalidade para calcular coeficientes rapidamente.