Nos Problemas 25-34, determine a expansão de co-senos ou senos em meia escala da função indicada.
f(x)=\operatorname{sen} x, 0<x<\pi

Passo 1

O enunciado pede: determinar a expansão em meia‑escala (ou seja, série de senos ou de cossenos definida em 0<x<\pi) para a função
f(x)=\operatorname{sen} x,\qquad 0<x<\pi.
Informações fornecidas e observações imediatas (peguei estes dados do enunciado):
  • A função é f(x)=\operatorname{sen} x definida no intervalo (0,\pi).
  • Os valores nos extremos são f(0)=\operatorname{sen} 0=0 e f(\pi)=\operatorname{sen}\pi=0.
  • A tarefa é escrever f como série de senos ou de cossenos em meia‑escala. Não foi especificado qual escolher; iremos construir a série de senos (meia‑escala ímpar) porque coincide bem com os pontos de contorno 0 e \pi.

Passo 2

O que é uma expansão em série de senos em meia‑escala e por que usar aqui.
  • A série de senos em meia‑escala em (0,\pi)\) tem a forma \[f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} b_n\operatorname{sen}(nx),
onde os coeficientes b_n são dados por
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\operatorname{sen}(nx)\,dx.
Explicando por partes:
  • O símbolo \sim indica que a série de Fourier (neste caso só com termos \operatorname{sen}(nx)) converge para f(x) no intervalo, salvo questões pontuais de convergência nas fronteiras (aqui não há problema porque f(0)=f(\pi)=0).
  • A fórmula de b_n vem da ortogonalidade das funções \operatorname{sen}(nx) no intervalo [0,\pi]. Vamos demonstrar essa ortogonalidade — é a ferramenta chave.
Mini‑aula sobre ortogonalidade (essencial para achar b_n):
  • Calcular a integral
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(mx)\operatorname{sen}(nx)\,dx
para inteiros positivos m,n. Usamos a identidade produto‑para‑soma:
\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Aplicando com A=mx e B=nx obtemos
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(mx)\operatorname{sen}(nx)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\big(\cos((m-n)x)-\cos((m+n)x)\big)\,dx.
  • Integrando cosenos:
\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\begin{cases} \pi,& k=0,\\[4pt] \dfrac{\sin(k\pi)-\sin(0)}{k}=0,& k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. \end{cases}
  • Se m\neq n\] então \[m-n é um inteiro não nulo e tanto \int_{0}^{\pi}\cos((m-n)x)\,dx=0 quanto \int_{0}^{\pi}\cos((m+n)x)\,dx=0; daí a integral vale 0.
  • Se m=n então \cos((m-n)x)=\cos 0=1 e \cos((m+n)x)=\cos(2mx) cuja integral é zero; portanto
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^2(nx)\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx=\tfrac{\pi}{2}.
Resumo da ortogonalidade:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(mx)\operatorname{sen}(nx)\,dx=\begin{cases} 0,& m\neq n,\\[4pt] \dfrac{\pi}{2},& m=n. \end{cases}
Por isso, ao multiplicar a série por \operatorname{sen}(nx)\] e integrar de \(0 a \pi, só sobrevive o termo com o mesmo índice n, levando à fórmula de b_n indicada acima.]

Passo 3

Aplicar a fórmula de coeficientes ao caso f(x)=\operatorname{sen} x.
Usamos
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\operatorname{sen}(nx)\,dx.
Pelo resultado de ortogonalidade que acabamos de obter, a integral \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\operatorname{sen}(nx)\,dx vale:
  • \dfrac{\pi}{2} quando n=1 (porque é \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^2 x\,dx),
  • 0 quando n\neq1 (porque \operatorname{sen} x é \operatorname{sen}(1\cdot x) e é ortogonal a \operatorname{sen}(nx) para n\neq1).
Portanto:
b_1=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=1, \qquad b_n=\frac{2}{\pi}\cdot 0=0\quad\text{para }n\ge 2.

Passo 4

Interpretação e conclusão prática — como usar isso na prova.
  • Encontramos que na série de senos em meia‑escala os únicos coeficientes não nulos são b_1=1 e todos os outros b_n são zero. Isso significa que a série de senos coincide exatamente com a própria função:
\operatorname{sen} x=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\operatorname{sen}(nx)=1\cdot\operatorname{sen}(1\cdot x)+0+\cdots=\operatorname{sen} x\quad\text{para }0<x<\pi.
  • Em termos de extensão: a série de senos corresponde à extensão ímpar de f para (- \pi,\pi). Neste caso particular a extensão ímpar é simplesmente \operatorname{sen} x estendida de forma ímpar (mas não é preciso usar isso para calcular os coeficientes aqui, só entender o significado).
Dica prática para prova: sempre cheque valores nos extremos; quando f(0)=f(\pi)=0 a expansão em série de senos costuma ser muito simples. Use a ortogonalidade para calcular coeficientes rapidamente.

Resposta

f(x)=\operatorname{sen} x=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\operatorname{sen}(nx),\qquad b_1=1,\; b_n=0\\ (n\ge 2).

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