Nos Problemas 25-34, determine a expansão de co-senos ou senos em meia escala da função indicada.
f(x)= \begin{cases}1, & 0<x<\frac{1}{2} \\\\ 0, & \frac{1}{2} \leq x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função em (0,1)\): \[f(x)= \begin{cases}1, & 0<x<\tfrac{1}{2},\\[4pt] 0, & \tfrac{1}{2}\le x<1.\end{cases}
A tarefa é obter as expansões em meia escala (half-range) sobre o intervalo (0,1)\]. Vou apresentar as duas possibilidades padrão: - expansão em cossenos (extensão par em \((-1,1)); e
- expansão em senos (extensão ímpar em (-1,1)).
Todas as integrais serão tomadas em 0\le x\le1 e usarei L=1 (meia escala = intervalo (0,L) com L=1).]

Passo 2

Primeiro, a fórmula e a ideia para a expansão em cossenos (extensão par).
A expansão em cossenos no intervalo (0,1) tem a forma
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(n\pi x),
onde os coeficientes são dados por
a_0=2\int_{0}^{1} f(x)\,dx, \qquad a_n=2\int_{0}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx\quad(n\ge1).
Explicação rápida: a expansão em cossenos corresponde a estender f de forma par para (-1,1) e fazer a série de Fourier usual com período 2.

Passo 3

Calcular a_0.
\int_{0}^{1} f(x)\,dx=\int_{0}^{1/2} 1\,dx+\int_{1/2}^{1}0\,dx=\tfrac{1}{2}.
Logo
a_0=2\cdot\tfrac{1}{2}=1,
e portanto o termo constante vale \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1.
Como f(x)=0 em [\tfrac{1}{2},1), tem-se
a_n=2\int_{0}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx =2\int_{0}^{1/2}\cos(n\pi x)\,dx.
Fazendo a integral,
\int_{0}^{1/2}\cos(n\pi x)\,dx=\left[\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)\right]_{0}^{1/2}=\frac{1}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Portanto
a_n=\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Observação sobre \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr): para n par esse seno é 0; para n ímpar, se n=2k-1 então \sin\!\bigl(\tfrac{(2k-1)\pi}{2}\bigr)=(-1)^{\,k-1}. Assim
a_{2k}=0,\qquad a_{2k-1}=\frac{2}{(2k-1)\pi}(-1)^{\,k-1}.

Passo 5

Escrever a série em cossenos final.
Juntando tudo:
f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{\,k-1}}{(2k-1)\pi}\cos\!\bigl((2k-1)\pi x\bigr).
Esta é a expansão em cossenos (half-range cosine) na meia escala L=1.

Passo 6

Agora a expansão em senos (extensão ímpar). Fórmula e ideia.
A expansão em senos no intervalo (0,1) tem a forma
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(n\pi x),
com os coeficientes
b_n=2\int_{0}^{1} f(x)\sin(n\pi x)\,dx\quad(n\ge1).
Explicação: essa série corresponde a estender f como função ímpar em (-1,1) e tomar a série de Fourier de período 2.

Passo 7

Calcular b_n.
Como antes, f(x) é não nulo apenas em [0,\tfrac{1}{2}), então
b_n=2\int_{0}^{1/2}\sin(n\pi x)\,dx.
Integral:
\int_{0}^{1/2}\sin(n\pi x)\,dx=\left[-\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x)\right]_{0}^{1/2} =-\frac{1}{n\pi}\bigl(\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr)=\frac{1}{n\pi}\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr).
Multiplicando por 2,
b_n=\frac{2}{n\pi}\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr).
Pode-se listar o padrão de \cos(\tfrac{n\pi}{2}) por classes modulo 4:
  • se n=4m então \cos(\tfrac{n\pi}{2})=1 e b_n=0;
  • se n=4m+1 então \cos(\tfrac{n\pi}{2})=0 e b_n=\dfrac{2}{n\pi};
  • se n=4m+2 então \cos(\tfrac{n\pi}{2})=-1 e b_n=\dfrac{4}{n\pi};
  • se n=4m+3 então \cos(\tfrac{n\pi}{2})=0 e b_n=\dfrac{2}{n\pi}.

Passo 8

Escrever a série em senos final.
A expansão em senos é
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x).
(ou usar a forma equivalente por classes n\bmod 4 dada acima).

Passo 9

Comentário sobre convergência (rápido e útil para prova).
  • Em pontos onde f é contínua (todo x\in(0,1) exceto x=\tfrac{1}{2} e possivelmente nas extremidades 0,1), as séries convergem para f(x).
  • No ponto de descontinuidade x=\tfrac{1}{2} a série converge para a média dos limites laterais, isto é \tfrac{1+0}{2}=\tfrac{1}{2}. Seja confiante: isso é padrão das séries de Fourier em pontos de salto.

Resposta

\text{Expansão em cossenos:}\qquad f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{\,k-1}}{(2k-1)\pi}\cos\!\bigl((2k-1)\pi x\bigr).ã
\text{Expansão em senos:}\qquad f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x).ã

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