O enunciado dá a função em (0,1)\):
\[f(x)= \begin{cases}1, & 0<x<\tfrac{1}{2},\\[4pt] 0, & \tfrac{1}{2}\le x<1.\end{cases}
A tarefa é obter as expansões em meia escala (half-range) sobre o intervalo (0,1)\]. Vou apresentar as duas possibilidades padrão:
- expansão em cossenos (extensão par em \((-1,1)); e
- expansão em senos (extensão ímpar em (-1,1)).
Todas as integrais serão tomadas em 0\le x\le1 e usarei L=1 (meia escala = intervalo (0,L) com L=1).]
Passo 2
Primeiro, a fórmula e a ideia para a expansão em cossenos (extensão par).
A expansão em cossenos no intervalo (0,1) tem a forma
Observação sobre \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr): para n par esse seno é 0; para n ímpar, se n=2k-1 então \sin\!\bigl(\tfrac{(2k-1)\pi}{2}\bigr)=(-1)^{\,k-1}. Assim
(ou usar a forma equivalente por classes n\bmod 4 dada acima).
Passo 9
Comentário sobre convergência (rápido e útil para prova).
Em pontos onde f é contínua (todo x\in(0,1) exceto x=\tfrac{1}{2} e possivelmente nas extremidades 0,1), as séries convergem para f(x).
No ponto de descontinuidade x=\tfrac{1}{2} a série converge para a média dos limites laterais, isto é \tfrac{1+0}{2}=\tfrac{1}{2}. Seja confiante: isso é padrão das séries de Fourier em pontos de salto.
Resposta
\text{Expansão em cossenos:}\qquad f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{\,k-1}}{(2k-1)\pi}\cos\!\bigl((2k-1)\pi x\bigr).ã
\text{Expansão em senos:}\qquad f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x).ã