Nos Problemas 25-36, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
x(x+1) \frac{d y}{d x}+x y=1, \quad y(e)=1
x(x+1) \frac{d y}{d x}+x y=1, \quad y(e)=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com a condição inicial
.
O que se pede:
O que se pede:
- Encontrar a solução
do problema de valor inicial. - Determinar o maior intervalo
contendo em que essa solução está definida.
Informações relevantes dadas:
Observação importante (apenas listada aqui): a equação apresenta pontos singulares em
e
(pois multiplicadores de derivada se anulam lá).
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Para isso dividimos ambos os lados por
; essa divisão só é válida onde
e
. Fazendo a divisão obtemos:
Explicando a ideia usada: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
A técnica padrão é multiplicar por um fator integrante
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Esse fator integrante é dado por
Aqui
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante:
Como o ponto inicial é
, podemos escolher a região em que
(ou seja
), então podemos tomar
sem o valor absoluto (isso corresponde a escolher o mesmo sinal do fator integrante em todo o intervalo onde procuramos a solução).
Multiplicando a equação pela
obtemos:
Agora observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Como
, substituímos
na expressão:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
, logo
Passo 6
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular:
Verificação rápida e didática: diferencie
usando essa expressão; como
, a derivada é
, que volta a dar a equação original quando reorganizamos.
Passo 7
Determinação do maior intervalo
que contém
onde a solução está definida. Observações sobre domínio:
- A função
exige . - Ao dividir originalmente por
excluímos os pontos e . - O ponto inicial
é positivo, portanto a solução que satisfaz a condição inicial só pode ser continuada em um intervalo que contenha e não atravesse .
Assim o maior intervalo aberto que contém
e onde a solução é válida e contínua é