Nos Problemas 25-36, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
x(x+1) \frac{d y}{d x}+x y=1, \quad y(e)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x(x+1)\frac{dy}{dx}+x y = 1,
com a condição inicial \;y(e)=1.
O que se pede:
  • Encontrar a solução y(x) do problema de valor inicial.
  • Determinar o maior intervalo I contendo x=e em que essa solução está definida.
Informações relevantes dadas:
\text{EQUAÇÃO: }x(x+1)\frac{dy}{dx}+x y = 1,\qquad \text{COND. INIC.: }y(e)=1.ÇÃ
Observação importante (apenas listada aqui): a equação apresenta pontos singulares em x=0 e x=-1 (pois multiplicadores de derivada se anulam lá).

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Para isso dividimos ambos os lados por x(x+1); essa divisão só é válida onde x\neq 0 e x\neq -1. Fazendo a divisão obtemos:
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}\,y=\frac{1}{x(x+1)}.
Explicando a ideia usada: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
A técnica padrão é multiplicar por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. Esse fator integrante é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui P(x)=\dfrac{1}{x+1}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int\frac{1}{x+1}\,dx\right)=\exp\!\big(\ln|x+1|\big)=|x+1|.
Como o ponto inicial é x=e>0, podemos escolher a região em que x+1>0 (ou seja x>-1), então podemos tomar \mu(x)=x+1 sem o valor absoluto (isso corresponde a escolher o mesmo sinal do fator integrante em todo o intervalo onde procuramos a solução).
Multiplicando a equação pela \mu(x)=x+1 obtemos:
(x+1)\frac{dy}{dx}+\;y=\frac{1}{x}.
Agora observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (x+1)y, pois
\frac{d}{dx}\big((x+1)y\big)=(x+1)\frac{dy}{dx}+y.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\big((x+1)y\big)=\frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad (x+1)y=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Assim
y(x)=\frac{\ln|x|+C}{x+1}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial \;y(e)=1. Como \ln e=1, substituímos x=e na expressão:
1=y(e)=\frac{\ln e + C}{e+1}=\frac{1+C}{e+1}.
Multiplicando ambos os lados por e+1 obtemos 1+C=e+1, logo
C=e.

Passo 6

Substituindo C na expressão geral obtemos a solução particular:
y(x)=\frac{\ln|x|+e}{x+1}.
Verificação rápida e didática: diferencie (x+1)y usando essa expressão; como (x+1)y=\ln|x|+e, a derivada é 1/x, que volta a dar a equação original quando reorganizamos.

Passo 7

Determinação do maior intervalo I que contém x=e onde a solução está definida. Observações sobre domínio:
  • A função \ln|x| exige x\neq 0.
  • Ao dividir originalmente por x(x+1) excluímos os pontos x=0 e x=-1.
  • O ponto inicial x=e é positivo, portanto a solução que satisfaz a condição inicial só pode ser continuada em um intervalo que contenha e e não atravesse x=0.
Assim o maior intervalo aberto que contém x=e e onde a solução é válida e contínua é
(0,\infty).

Resposta

y(x)=\frac{\ln|x|+e}{x+1}
I=(0,\infty)

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