Nos Problemas 25-36, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
\frac{d y}{d x}=2 x-3 y, \quad y(0)=\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
\frac{dy}{dx}=2x-3y,\qquad y(0)=\frac{1}{3}.
O que se pede:
  1. Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.
  2. Dar o maior intervalo I sobre o qual essa solução está definida.
    Informações relevantes dadas: a expressão da derivada \frac{dy}{dx} em função de x e y, e o valor inicial y(0)=\frac{1}{3}.

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma padrão que facilita a solução. Subtraindo -3y para o lado esquerdo obtemos
\frac{dy}{dx}+3y=2x.
Aqui estamos no caso de uma equação linear de primeira ordem da forma
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
onde, no nosso problema, p(x)=3 e q(x)=2x. Uma técnica prática para resolver esse tipo de equação é o fator integrante \mu(x), definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Explicando devagar: \mu(x) é escolhida para que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y. Como p(x)=3, calculamos
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação por \mu(x)=e^{3x}:
e^{3x}\frac{dy}{dx}+3e^{3x}y=2x e^{3x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{3x}y, ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}y\bigr)=2x e^{3x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{3x}y=\int 2x e^{3x}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Precisamos calcular a integral \int 2x e^{3x}\,dx. Para isso usamos integração por partes. A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos funções u e dv. Tomemos u=2x (portanto du=2\,dx) e dv=e^{3x}\,dx (portanto v=\frac{1}{3}e^{3x}). Aplicando:
\int 2x e^{3x}\,dx = \frac{2x}{3}e^{3x} - \int \frac{2}{3} e^{3x}\,dx.
A integral restante é simples:
\int \frac{2}{3} e^{3x}\,dx = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x}=\frac{2}{9}e^{3x}.
Logo
\int 2x e^{3x}\,dx = e^{3x}\!\left(\frac{2x}{3}-\frac{2}{9}\right)+C.
Portanto voltando para a expressão de e^{3x}y,
e^{3x}y = e^{3x}\!\left(\frac{2x}{3}-\frac{2}{9}\right)+C.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por e^{3x} obtemos a solução geral:
y(x)=\frac{2x}{3}-\frac{2}{9}+C e^{-3x}.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=\frac{1}{3}. Substituindo x=0 na fórmula:
\frac{1}{3}=\frac{2\cdot 0}{3}-\frac{2}{9}+C e^{0}=-\frac{2}{9}+C.
Isolando C:
C=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}=\frac{3}{9}+\frac{2}{9}=\frac{5}{9}.
Assim a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{2x}{3}-\frac{2}{9}+\frac{5}{9}e^{-3x}.

Passo 5

Precisamos dar o maior intervalo I onde a solução está definida. Observação importante: as funções que aparecem na equação (aqui p(x)=3 e q(x)=2x) são contínuas para todo x\in\mathbb{R}. O procedimento que usamos (fator integrante, integração) produz uma expressão explícita sem singularidades para qualquer x. Portanto a solução está definida para todo número real. Assim o maior intervalo de existência é
I=(-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=\dfrac{2x}{3}-\dfrac{2}{9}+\dfrac{5}{9}e^{-3x}\n I=(-\infty,\infty)

Exercícios relacionados