Nos Problemas 25-36, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
O que se pede:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial. - Dar o maior intervalo
sobre o qual essa solução está definida.
Informações relevantes dadas: a expressão da derivadaem função de e , e o valor inicial .
Passo 2
Vamos escrever a equação numa forma padrão que facilita a solução. Subtraindo
para o lado esquerdo obtemos
Aqui estamos no caso de uma equação linear de primeira ordem da forma
onde, no nosso problema,
e
. Uma técnica prática para resolver esse tipo de equação é o fator integrante
, definido por
Explicando devagar:
é escolhida para que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo vire a derivada de
. Como
, calculamos
Passo 3
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, ou seja
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Precisamos calcular a integral
. Para isso usamos integração por partes. A fórmula da integração por partes é
onde escolhemos funções
e
. Tomemos
(portanto
) e
(portanto
). Aplicando:
A integral restante é simples:
Logo
Portanto voltando para a expressão de
,
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
obtemos a solução geral:
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na fórmula:
Isolando
:
Assim a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 5
Precisamos dar o maior intervalo
onde a solução está definida. Observação importante: as funções que aparecem na equação (aqui
e
) são contínuas para todo
. O procedimento que usamos (fator integrante, integração) produz uma expressão explícita sem singularidades para qualquer
. Portanto a solução está definida para todo número real. Assim o maior intervalo de existência é