Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
2. \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{(s+2)^{2}}{s^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{(s+2)^{2}}{s^{3}}\right\}.
Informações dadas:
  • A função no domínio de s é F(s)=\dfrac{(s+2)^{2}}{s^{3}}.
  • Deve-se encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, definida para t\ge0.

Passo 2

Vamos lembrar um fato essencial (Teorema de linearidade / relações básicas):
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\},
e a transformada inversa também é linear:
\mathcal{L}^{-1}\{aF(s)+bG(s)\}=a\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}+b\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
Também usamos a fórmula padrão para potências de t:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{n+1}}\right\}=\frac{t^{n}}{n!},
onde n é inteiro não negativo.

Passo 3

Primeiro fazemos álgebra para decompor F(s) em termos simples. Expandindo o numerador:
(s+2)^{2}=s^{2}+4s+4.
Logo
\frac{(s+2)^{2}}{s^{3}}=\frac{s^{2}+4s+4}{s^{3}}.

Passo 4

Agora dividimos cada termo por s^{3} para escrever como soma:
\frac{s^{2}+4s+4}{s^{3}}=\frac{s^{2}}{s^{3}}+\frac{4s}{s^{3}}+\frac{4}{s^{3}}.
Simplificando as potências de s:
\frac{s^{2}}{s^{3}}=\frac{1}{s},\qquad \frac{4s}{s^{3}}=\frac{4}{s^{2}},\qquad \frac{4}{s^{3}}=\frac{4}{s^{3}}.
Portanto
\frac{(s+2)^{2}}{s^{3}}=\frac{1}{s}+\frac{4}{s^{2}}+\frac{4}{s^{3}}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a linearidade e a fórmula \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{n+1}\}=t^{n}/n!.
  • Para \dfrac{1}{s}:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1.
  • Para \dfrac{4}{s^{2}}: aqui s^{2}=s^{1+1} com n=1, e \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{s^{2}}\right\}=4t.
  • Para \dfrac{4}{s^{3}}: aqui s^{3}=s^{2+1} com n=2, e \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{3}\}=t^{2}/2. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{s^{3}}\right\}=4\cdot\frac{t^{2}}{2}=2t^{2}.

Passo 6

Somando as três parcelas (pela linearidade):
f(t)=1+4t+2t^{2},\qquad t\ge0.

Resposta

1+4t+2t^{2}

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