Questão 3 (10 pontos)

Usando multiplicadores de Lagrange, encontre o ponto do plano que está mais próximo do ponto (2,0,-1).
x+y+z=2

Passo 1

O enunciado dá um ponto e uma restrição (um plano) e pede o ponto do plano mais próximo do ponto dado. Mais precisamente:
  • Ponto dado: (2,0,-1).
  • Plano: x+y+z=2.
    O que é pedido: encontrar o ponto (x,y,z) que pertence ao plano x+y+z=2 e que minimiza a distância até (2,0,-1).

Passo 2

Escolher a função a minimizar. A distância euclidiana entre um ponto (x,y,z) e (2,0,-1) é
\sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2 + (z+1)^2}.
Para facilitar os cálculos, minimizamos o quadrado da distância (isso preserva o ponto minimizador porque a raiz quadrada é crescente). Definimos a função objetivo
f(x,y,z)=(x-2)^2 + y^2 + (z+1)^2.
A restrição é
g(x,y,z)=x+y+z-2=0.

Passo 3

Usar multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda\,g(x,y,z).
Ou seja,
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=(x-2)^2+y^2+(z+1)^2+\lambda(x+y+z-2).
A condição de extremante com restrição é que as derivadas parciais sejam zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=0.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais e escrever o sistema:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2(x-2)+\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-4+\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=2y+\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=2(z+1)+\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad 2z+2+\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=x+y+z-2=0.
Temos assim o sistema de quatro equações com quatro incógnitas x,y,z,\lambda.

Passo 5

Eliminar \lambda para obter relações entre x,y,z. Subtraindo a segunda equação da primeira:
(2x-4+\lambda)-(2y+\lambda)=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-4-2y=0,
que simplifica para
x-y-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=y+2.
Subtraindo a terceira equação da segunda:
(2y+\lambda)-(2z+2+\lambda)=0 \quad\Rightarrow\quad 2y-2z-2=0,
que simplifica para
y-z-1=0 \quad\Rightarrow\quad y=z+1.

Passo 6

Combinar as relações com a restrição. Substituindo x=y+2 e y=z+1 na restrição x+y+z=2:
x+y+z=(z+3)+(z+1)+z=3z+4.
Portanto
3z+4=2 \quad\Rightarrow\quad 3z=-2 \quad\Rightarrow\quad z=-\frac{2}{3}.
Agora:
y=z+1=-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3},
x=y+2=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}.

Passo 7

Checagem rápida (consistência): verificar que (x,y,z)=\bigl(\tfrac{7}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr) satisfaz o plano:
\frac{7}{3}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2,
logo está no plano. Geometricamente, este ponto é a projeção ortogonal de (2,0,-1) sobre o plano, e portanto é o ponto de menor distância.

Resposta

\left(\dfrac{7}{3},\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3}\right)

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