Questão 3 (10 pontos)
Usando multiplicadores de Lagrange, encontre o ponto do plano que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
O enunciado dá um ponto e uma restrição (um plano) e pede o ponto do plano mais próximo do ponto dado. Mais precisamente:
- Ponto dado:
. - Plano:
.
O que é pedido: encontrar o pontoque pertence ao plano e que minimiza a distância até .
Passo 2
Escolher a função a minimizar. A distância euclidiana entre um ponto
e
é
Para facilitar os cálculos, minimizamos o quadrado da distância (isso preserva o ponto minimizador porque a raiz quadrada é crescente). Definimos a função objetivo
A restrição é
Passo 3
Usar multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana
Ou seja,
A condição de extremante com restrição é que as derivadas parciais sejam zero:
Passo 4
Calcular as derivadas parciais e escrever o sistema:
Temos assim o sistema de quatro equações com quatro incógnitas
.
Passo 5
Eliminar
para obter relações entre
. Subtraindo a segunda equação da primeira:
que simplifica para
Subtraindo a terceira equação da segunda:
que simplifica para
Passo 6
Combinar as relações com a restrição. Substituindo
e
na restrição
:
Portanto
Agora:
Passo 7
Checagem rápida (consistência): verificar que
satisfaz o plano:
logo está no plano. Geometricamente, este ponto é a projeção ortogonal de
sobre o plano, e portanto é o ponto de menor distância.