Nos Problemas 43 e 44, ache uma solução do sistema, na forma X=t^2 K, t>0, onde K é um vetor coluna de constantes.
43. t X^prime=(rr1 & 3 -1 & 5) X

Passo 1

O enunciado pede uma solução do sistema de equações diferenciais lineares
t,X' = 1 & 3 -1 & 5X
na forma X(t)=t^2K, onde t>0 e K é um vetor constante. Vamos usar a ideia de soluções monomiais e autovalores.

Passo 2

Primeiro, suponha
X(t)=t^2K
Derivando em relação a t:
X'(t)=2t,K
Multiplicando por t obtemos
t,X'(t)=2t^2K

Passo 3

Agora substituímos na equação original:
2t^2K=1 & 3 -1 & 5(t^2K)
Como t>0, podemos cancelar t^2 dos dois lados, ficando
2K=1 & 3 -1 & 5K,
o que é um problema de autovalor com lambda=2.

Passo 4

Para achar K, resolvemos
l(1 & 3 -1 & 5-2Ir)K=0 Longrightarrow -1 & 3 -1 & 3k1 k2=0
Isso dá a equação -k1+3k2=0, ou seja k1=3k2. Logo
K=k231,
que define o autovetor associado a lambda=2.

Resposta

X(t)=t^231

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