Dada as funções abaixo, esboce o gráfico e determine as características conforme os critérios da primeira e segunda derivada.
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é esboçar seu gráfico usando análise da primeira derivada (para monotonicidade e extremos) e da segunda derivada (para concavidade e ponto de inflexão).
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada e encontrar os pontos críticos.
Assim, os pontos críticos são soluções de
Passo 3
Analisamos o sinal de
em cada intervalo para classificar monotonicidade e extremos:
- Para
: e ⇒ (crescente). - Para
: e ⇒ (decrescente). - Para
: e ⇒ (crescente).
Isso mostra máximo local eme mínimo local em . Calculando os valores:
.
Passo 4
Agora a segunda derivada para concavidade e inflexão.
Igualando a zero,
Passo 5
Determinamos a concavidade pelos sinais de
:
- Para
: ⇒ concavidade para baixo. - Para
: ⇒ concavidade para cima.
O ponto de inflexão écom
Passo 6
Calculamos interceptos e comportamento extremo da curva:
- Intercepto em
: ⇒ ⇒ ou (aprox. e ). - Intercepto em
: . - Para
, e para , (cúbica com coeficiente líder positivo).
Passo 7
Juntando tudo, o gráfico é de uma cúbica que:
- É crescente em
e , decrescente em . - Tem máximo local em
e mínimo local em . - É côncava para baixo em
e para cima em , com ponto de inflexão em . - Intercepta o eixo
em , e .
Resposta
Domínio:
.
Interceptos: e
.
Monotonicidade: crescente em e
, decrescente em
.
Extremos: máximo local em , mínimo local em
.
Concavidade: côncava para baixo em e para cima em
.
Ponto de inflexão: .
Comportamento de longo alcance: quando
e
quando
.
Interceptos:
Monotonicidade: crescente em
Extremos: máximo local em
Concavidade: côncava para baixo em
Ponto de inflexão:
Comportamento de longo alcance: