Dada as funções abaixo, esboce o gráfico e determine as características conforme os critérios da primeira e segunda derivada.
f(x)=2 x^3-3 x^2-12 x

Passo 1

Temos a função f(x)=2x^3-3x^2-12x. O objetivo é esboçar seu gráfico usando análise da primeira derivada (para monotonicidade e extremos) e da segunda derivada (para concavidade e ponto de inflexão).

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada e encontrar os pontos críticos.
f'(x)=ddxl(2x^3-3x^2-12xr)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)
Assim, os pontos críticos são soluções de f'(x)=0, ou seja, x=-1 e x=2.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x) em cada intervalo para classificar monotonicidade e extremos:
  • Para x<-1: (x-2)<0 e (x+1)<0 f'>0 (crescente).
  • Para -1: (x-2)<0 e (x+1)>0 f'<0 (decrescente).
  • Para x>2: (x-2)>0 e (x+1)>0 f'>0 (crescente).
    Isso mostra máximo local em x=-1 e mínimo local em x=2. Calculando os valores:
    f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)=-2-3+12=7
    f(2)=2cdot8-3cdot4-24=16-12-24=-20.

Passo 4

Agora a segunda derivada para concavidade e inflexão.
f''(x)=ddx(6x^2-6x-12)=12x-6
Igualando a zero, 12x-6=0 x=tfrac12.

Passo 5

Determinamos a concavidade pelos sinais de f''(x):
  • Para x: 12x-6<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para x>tfrac12: 12x-6>0 ⇒ concavidade para cima.
    O ponto de inflexão é x=tfrac12 com f(tfrac12)=2(tfrac18)-3(tfrac14)-12(tfrac12)=tfrac14-tfrac34-6=-6.5

Passo 6

Calculamos interceptos e comportamento extremo da curva:
  • Intercepto em x: f(x)=0 x(2x^2-3x-12)=0 x=0 ou x=tfrac3pmraiz1054 (aprox. -1.812 e 3.312).
  • Intercepto em y: f(0)=0.
  • Para xto-infty, f(x)to-infty e para xto+infty, f(x)to+infty (cúbica com coeficiente líder positivo).

Passo 7

Juntando tudo, o gráfico é de uma cúbica que:
  • É crescente em (-infty,-1) e (2,infty), decrescente em (-1,2).
  • Tem máximo local em (-1,7) e mínimo local em (2,-20).
  • É côncava para baixo em (-infty,tfrac12) e para cima em (tfrac12,infty), com ponto de inflexão em (tfrac12,-6.5).
  • Intercepta o eixo x em x=0, xapprox-1.812 e xapprox3.312.

Resposta

Domínio: R.
Interceptos: x=0,,tfrac3pmraiz1054approx-1.812,3.312 e y=0.
Monotonicidade: crescente em (-infty,-1) e (2,infty), decrescente em (-1,2).
Extremos: máximo local em (-1,7), mínimo local em (2,-20).
Concavidade: côncava para baixo em (-infty,tfrac12) e para cima em (tfrac12,infty).
Ponto de inflexão: (tfrac12,-6.5).
Comportamento de longo alcance: f(x)to-infty quando xto-infty e f(x)to+infty quando xto+infty.

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