Nos problemas abaixo, encontre F(s) ou f(t).
\mathcal{L}\left\{e^{-t} \cos (3 t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar F(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(3t)\}.
Informações dadas:
  • A função em t é f(t)=e^{-t}\cos(3t), definida para t\ge0 (transformada de Laplace usual).
  • Não há outras informações numéricas; espera-se obter F(s) em termos de s.

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) com t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
desde que a integral converja. Aplicando isso a f(t)=e^{-t}\cos(3t) obtemos
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{-t}\cos(3t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\cos(3t)\,dt.
Para que essa integral impropria convirja precisamos de \operatorname{Re}(s+1)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>-1. Vou proceder supondo essa condição.

Passo 3

Uma forma eficiente de calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\,dt (com \operatorname{Re}(\alpha)>0) é usar a exponencial complexa:
\cos(\omega t)=\operatorname{Re}\bigl(e^{i\omega t}\bigr),
então
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\,dt = \operatorname{Re}\int_{0}^{\infty} e^{-(\alpha - i\omega)t}\,dt.
A integral geométrica dá
\int_{0}^{\infty} e^{-(\alpha - i\omega)t}\,dt=\frac{1}{\alpha - i\omega},
valendo quando \operatorname{Re}(\alpha)>0. Tomando a parte real,
\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{\alpha - i\omega}\right) =\operatorname{Re}\!\left(\frac{\alpha + i\omega}{\alpha^2+\omega^2}\right) =\frac{\alpha}{\alpha^2+\omega^2}.
Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\,dt=\frac{\alpha}{\alpha^2+\omega^2}.

Passo 4

No nosso caso temos \alpha=s+1 e \omega=3. Substituindo na fórmula do passo anterior:
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\cos(3t)\,dt=\frac{s+1}{(s+1)^2+3^2}.
Simplificando o denominador:
F(s)=\frac{s+1}{(s+1)^2+9},
válido para \operatorname{Re}(s)>-1.
(O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema de deslocamento: \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F_f(s-a). Como \mathcal{L}\{\cos(3t)\}(s)=\dfrac{s}{s^2+9}, para a=-1 vem F(s)=\dfrac{s+1}{(s+1)^2+9}.)

Resposta

\displaystyle \frac{s+1}{(s+1)^2+9},\quad \operatorname{Re}(s)>-1

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