Nos problemas abaixo, encontre
ou
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função em
é , definida para (transformada de Laplace usual). - Não há outras informações numéricas; espera-se obter
em termos de .
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função
com
,
desde que a integral converja. Aplicando isso a
obtemos
Para que essa integral impropria convirja precisamos de
, ou seja
. Vou proceder supondo essa condição.
Passo 3
Uma forma eficiente de calcular
(com
) é usar a exponencial complexa:
então
A integral geométrica dá
valendo quando
. Tomando a parte real,
Portanto
Passo 4
No nosso caso temos
e
. Substituindo na fórmula do passo anterior:
Simplificando o denominador:
válido para
.
(O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema de deslocamento:
. Como
, para
vem
.)