Nos problemas abaixo, encontre
ou
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
Pede-se a transformada inversa de Laplace de
Pede-se a transformada inversa de Laplace de
Ou seja, achar
tal que
.
Passo 2
Organizar a expressão no denominador para reconhecer uma forma padrão.
Vamos completar o quadrado em . Primeiro escrevo os termos quadrático e linear juntos e vejo qual termo acrescentar/subtrair:
Vamos completar o quadrado em
Portanto
Passo 3
Lembrar as transformadas de Laplace básicas que vamos usar (explicando cada símbolo).
- A transformada de Laplace da função
é
Aqui
é a taxa de crescimento/exponencial e
é a frequência da função seno/cosseno.
- A transformada de Laplace da função
é
Note que no numerador aparece
para o seno e
para o cosseno.
Passo 4
Comparar a nossa expressão com as formas padrão para identificar
e
.
Temos
Temos
Isto é exatamente da forma
com
e
, porque então o numerador
vale
. Assim a função no tempo associada é
com esses parâmetros.
Passo 5
Concluir a inversa e verificar rapidamente.
Pelo item anterior,
Pelo item anterior,
Verificação curta: aplicando
em
obtém-se
, que é justamente a transformada dada.