Nos problemas abaixo, encontre F(s) ou f(t).
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}-6 s+10}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
Pede-se a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{s^{2}-6s+10}.
Ou seja, achar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s^{2}-6s+10}.

Passo 2

Organizar a expressão no denominador para reconhecer uma forma padrão.
Vamos completar o quadrado em s^{2}-6s+10. Primeiro escrevo os termos quadrático e linear juntos e vejo qual termo acrescentar/subtrair:
s^{2}-6s+10 = (s^{2}-6s+9)+1 = (s-3)^{2}+1.
Portanto
\frac{1}{s^{2}-6s+10}=\frac{1}{(s-3)^{2}+1}.

Passo 3

Lembrar as transformadas de Laplace básicas que vamos usar (explicando cada símbolo).
  • A transformada de Laplace da função e^{at}\cos(bt) é
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui a é a taxa de crescimento/exponencial e b é a frequência da função seno/cosseno.
  • A transformada de Laplace da função e^{at}\sin(bt) é
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Note que no numerador aparece b para o seno e s-a para o cosseno.

Passo 4

Comparar a nossa expressão com as formas padrão para identificar a e b.
Temos
\frac{1}{(s-3)^{2}+1}.
Isto é exatamente da forma \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}} com a=3 e b=1, porque então o numerador b vale 1. Assim a função no tempo associada é e^{at}\sin(bt) com esses parâmetros.

Passo 5

Concluir a inversa e verificar rapidamente.
Pelo item anterior,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-3)^{2}+1}\right\}=e^{3t}\sin t.
Verificação curta: aplicando \mathcal{L} em e^{3t}\sin t obtém-se \dfrac{1}{(s-3)^{2}+1}, que é justamente a transformada dada.

Resposta

e^{3t}\sin t

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