Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).
(y * e^(-2 * x) + y^3) * dx - e^(-2 * x) * dy = 0

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que pede para identificar que tipo de equação diferencial estamos olhando aqui. A matéria envolvida é equações diferenciais, especificamente classificando se a equação é Homogênea, do tipo Bernoulli ou G(ax + by). Para isso, vamos analisar a equação dada e ver quais características ela apresenta para encaixar em uma dessas categorias.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente precisa analisar:
Essa é a forma geral da nossa equação diferencial. Para facilitar a análise, vamos identificar as funções e , que são os coeficientes de e respectivamente:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é Homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se as funções e forem homogêneas do mesmo grau. Ou seja, se ao multiplicar e por um fator , ambas e forem multiplicadas por para o mesmo .
Vamos testar:
Percebemos que não é multiplicado apenas por um fator consistente, já que temos termos com e , além do termo exponencial que muda com . Portanto, a equação não é homogênea.

Passo 4

Vamos ver se a equação é do tipo Bernoulli. As equações de Bernoulli têm a forma:
No nosso caso, para transformar a equação original nessa forma, precisaríamos isolar . Dividindo tudo por :
Comparando com a forma de Bernoulli, vemos que temos , e . Isso se encaixa perfeitamente na definição de uma equação de Bernoulli.

Passo 5

Por fim, vamos verificar se a equação é do tipo G(ax + by). Esse tipo geralmente envolve uma substituição que reduz a equação a uma variável única, combinando . Porém, já identificamos que a equação é de Bernoulli, o que é uma categoria mais específica e apropriada para essa forma.

Resposta

A equação dada é uma equação de Bernoulli.

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