Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que pede para identificar que tipo de equação diferencial estamos olhando aqui. A matéria envolvida é equações diferenciais, especificamente classificando se a equação é Homogênea, do tipo Bernoulli ou G(ax + by). Para isso, vamos analisar a equação dada e ver quais características ela apresenta para encaixar em uma dessas categorias.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente precisa analisar:
Essa é a forma geral da nossa equação diferencial. Para facilitar a análise, vamos identificar as funções
e
, que são os coeficientes de
e
respectivamente:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é Homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se as funções
e
forem homogêneas do mesmo grau. Ou seja, se ao multiplicar
e
por um fator
, ambas
e
forem multiplicadas por
para o mesmo
.
Vamos testar:
Percebemos que
não é multiplicado apenas por um fator
consistente, já que temos termos com
e
, além do termo exponencial que muda com
. Portanto, a equação não é homogênea.
Passo 4
Vamos ver se a equação é do tipo Bernoulli. As equações de Bernoulli têm a forma:
No nosso caso, para transformar a equação original nessa forma, precisaríamos isolar
. Dividindo tudo por
:
Comparando com a forma de Bernoulli, vemos que temos
,
e
. Isso se encaixa perfeitamente na definição de uma equação de Bernoulli.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se a equação é do tipo G(ax + by). Esse tipo geralmente envolve uma substituição que reduz a equação a uma variável única, combinando
. Porém, já identificamos que a equação é de Bernoulli, o que é uma categoria mais específica e apropriada para essa forma.
Resposta
A equação dada é uma equação de Bernoulli.