Se
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, dado
, a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
é igual a
.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais de funções de duas variáveis e algumas propriedades de exponenciais. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora; vou explicar cada passo de forma simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
(
) mede como
muda quando apenas
muda, mantendo
constante. O mesmo vale para
.
Nosso objetivo é calcular
e
, somá-las e verificar se o resultado é
.
Passo 3
Vamos começar calculando
.
Temos:
Aplicando a regra do quociente para derivadas:
Calculando as derivadas:
-
(pela regra da cadeia) -
(pois é constante em relação a )
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
da mesma maneira.
Novamente, temos:
Aplicando a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos somar
e
:
Vamos fatorar
no numerador:
Resposta
Assim, demonstramos que:
como queríamos mostrar.