Se u=e^x ye^x+e^y, mostre que partial upartial x+partial upartial y=(x+y-1) u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, dado , a soma das derivadas parciais de em relação a e é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais de funções de duas variáveis e algumas propriedades de exponenciais. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora; vou explicar cada passo de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a ( ) mede como muda quando apenas muda, mantendo constante. O mesmo vale para .
Nosso objetivo é calcular e , somá-las e verificar se o resultado é .

Passo 3

Vamos começar calculando u = e^xye^x + e^y .
Temos:
partial upartial x = (e^x + e^y) cdot partialpartial x(e^xy) - e^xy cdot partialpartial x(e^x + e^y)(e^x + e^y)^2
Aplicando a regra do quociente para derivadas:
partial upartial x = (e^x + e^y) cdot y e^xy - e^xy cdot e^x(e^x + e^y)^2
Calculando as derivadas:
  • = y e^xy (e^x + e^y) - e^x e^xy(e^x + e^y)^2 (pela regra da cadeia)
  • (pois é constante em relação a )
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular u = e^xye^x + e^y da mesma maneira.
Novamente, temos:
partial upartial y = (e^x + e^y) cdot partialpartial y(e^xy) - e^xy cdot partialpartial y(e^x + e^y)(e^x + e^y)^2
Aplicando a regra do quociente:
partial upartial y = (e^x + e^y) cdot x e^xy - e^xy cdot e^y(e^x + e^y)^2
Calculando as derivadas:
  • = x e^xy (e^x + e^y) - e^y e^xy(e^x + e^y)^2
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos somar partial upartial x + partial upartial y = y e^xy (e^x + e^y) - e^x e^xy + x e^xy (e^x + e^y) - e^y e^xy(e^x + e^y)^2 e = e^xy [ y (e^x + e^y) + x (e^x + e^y) - e^x - e^y ](e^x + e^y)^2 :
= e^xy [ (x + y)(e^x + e^y) - (e^x + e^y) ](e^x + e^y)^2
Vamos fatorar = e^xy (e^x + e^y) (x + y - 1)(e^x + e^y)^2 no numerador:
= (x + y - 1) cdot e^xye^x + e^y
= (x + y - 1)u

Resposta

Assim, demonstramos que:
partial upartial x + partial upartial y = (x + y - 1)u
como queríamos mostrar.

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