Em problemas relacionados ao aproveitamento de energia térmica, é comum encontrar expressões com o seguinte formato: V=k \cdot \alpha \cdot \beta, Onde:
  • V : variável de interesse com dimensão de razão entre a potência e o produto área x temperatura;
  • \alpha : representa a taxa de variação de temperatura com relação a uma posição;
  • \beta : é a viscosidade dinâmica de um fluido, cuja dimensão é a razão (força x tempo) / área Sabendo-se que as dimensões básicas para temperatura, comprimento e tempo são designadas pelos símbolos \theta, L, e T. A dimensão de k é dada por:

Passo 1

O enunciado dá a relação
V = k \cdot \alpha \cdot \beta
e pede a dimensão de k. Aqui vamos usar análise dimensional, sabendo que:
V tem dimensão de potência sobre (área × temperatura),
\alpha é variação de temperatura por comprimento,
\beta é viscosidade dinâmica.

Passo 2

Determinar a dimensão de V. A potência tem dimensão \mathrm{M\,L^2\,T^{-3}}, a área é \mathrm{L^2} e a temperatura é \theta. Logo,
[V] = \frac{\mathrm{M\,L^2\,T^{-3}}}{\mathrm{L^2}\,\theta} = \mathrm{M\,T^{-3}\,\theta^{-1}}.

Passo 3

Determinar a dimensão de \alpha. Como é taxa de variação de temperatura em relação a uma posição,
[\alpha] = \frac{\theta}{L} = \mathrm{\theta\,L^{-1}}.

Passo 4

Determinar a dimensão de \beta. A viscosidade dinâmica é \tfrac{\text{força}\times\text{tempo}}{\text{área}}çá. A força é \mathrm{M\,L\,T^{-2}}, o tempo é T e a área é L^2. Assim,
[\beta] = \frac{\mathrm{M\,L\,T^{-2}}\times T}{L^2} = \mathrm{M\,T^{-1}\,L^{-1}}.

Passo 5

Usando [V]=[k]\,[\alpha]\,[\beta], temos
[k] = \frac{[V]}{[\alpha]\,[\beta]} = \frac{\mathrm{M\,T^{-3}\,\theta^{-1}}} {\bigl(\mathrm{\theta\,L^{-1}}\bigr)\,\bigl(\mathrm{M\,T^{-1}\,L^{-1}}\bigr)}.
Simplificando as potências de \mathrm{M},\,L,\,T e \theta,
[k] = \mathrm{L^2\,T^{-2}\,\theta^{-2}}.

Resposta

A dimensão de k é \mathrm{L^2\,T^{-2}\,\theta^{-2}}.

Exercícios relacionados