Nos problemas a seguir encontre o máximo e o mínimo absoluto de cada função
para
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
sobre o disco fechado definido por
O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em domínio fechado: vamos buscar pontos críticos no interior (onde a função é diferenciável) e analisar a fronteira
.
Passo 2
No interior do disco,
, a função é diferenciável e calculamos as derivadas parciais:
Para pontos críticos igualamos cada derivada a zero, o que força
e
. Logo o único crítico interior é
, onde
Passo 3
Na fronteira
, substituímos direto na definição de
:
Portanto todos os pontos do círculo unitário dão valor
.
Passo 4
Como o domínio é fechado e
é contínua, os valores em pontos críticos interiores e na fronteira são os candidatos a extremos absolutos. Comparando, obtemos os valores
Resposta
O valor máximo de
é
, alcançado em
.
O valor mínimo de é
, alcançado em todos os pontos da fronteira
.
O valor mínimo de