Nos problemas a seguir encontre o máximo e o mínimo absoluto de cada função
f(x, y)=x y+12(x+y)-(x+y)^{2} para 0 \leq x \leq 12 e 0 \leq y \leq 12

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo e o mínimo absoluto da função
f(x,y)=xy + 12(x+y) - (x+y)^2
no quadrado definido por 0 \le x \le 12 e 0 \le y \le 12.
O método geral consiste em (1) achar pontos críticos no interior via \nabla f=0 e (2) estudar as arestas do domínio como funções de uma variável.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x} = y + 12 - 2(x+y) = 12 - 2x - y \quad\Longrightarrow\quad 12 - 2x - y = 0,
\frac{\partial f}{\partial y} = x + 12 - 2(x+y) = 12 - x - 2y \quad\Longrightarrow\quad 12 - x - 2y = 0.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 12 - 2x - y = 0,\\\\ 12 - x - 2y = 0, \end{cases}
obtemos x=4 e y=4.

Passo 3

Avaliaremos f no ponto crítico (4,4):
f(4,4) = 4\cdot4 + 12(4+4) - (4+4)^2 =16 + 96 - 64 =48.

Passo 4

Estudo das arestas x=0 e x=12:
– Para x=0, y\in[0,12]:
f(0,y)=12y - y^2,
que atinge máximo em y=6 com f(0,6)=36 e nos extremos y=0 ou y=12 vale 0.
– Para x=12, y\in[0,12]:
f(12,y)=12y+12(12+y)-(12+y)^2 =24y+144 - (y+12)^2 = -\,y^2,
que atinge máximo 0 em y=0 e mínimo -144 em y=12.

Passo 5

Estudo das arestas y=0 e y=12:
– Para y=0, x\in[0,12]:
f(x,0)=12x - x^2,
que atinge máximo em x=6 com f(6,0)=36 e nos extremos x=0 ou x=12 vale 0.
– Para y=12, x\in[0,12]:
f(x,12)=24x+144-(x+12)^2 = -\,x^2,
que atinge máximo 0 em x=0 e mínimo -144 em x=12.

Passo 6

Reunindo todos os valores críticos:
\begin{aligned} f(4,4)&=48,\\\ \max_{borda} &=36\quad(\text{em }(6,0)\text{ ou }(0,6)),\\\ f\bigl(\text{vértices}\bigr)&\in\{0,-144\}. \end{aligned}é
O maior valor é 48 no interior (4,4) e o menor é -144 no vértice (12,12).

Resposta

O máximo absoluto é 48 em (4,4).
O mínimo absoluto é -144 em (12,12).

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