Nos problemas a seguir encontre o máximo e o mínimo absoluto de cada função f(x, y)=x y+12(x+y)-(x+y)^{2} para 0 \leq x \leq 12 e 0 \leq y \leq 12
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o máximo e o mínimo absoluto da função
f(x,y)=xy + 12(x+y) - (x+y)^2
no quadrado definido por 0 \le x \le 12 e 0 \le y \le 12.
O método geral consiste em (1) achar pontos críticos no interior via \nabla f=0 e (2) estudar as arestas do domínio como funções de uma variável.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x} = y + 12 - 2(x+y) = 12 - 2x - y \quad\Longrightarrow\quad 12 - 2x - y = 0,
\frac{\partial f}{\partial y} = x + 12 - 2(x+y) = 12 - x - 2y \quad\Longrightarrow\quad 12 - x - 2y = 0.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 12 - 2x - y = 0,\\\\ 12 - x - 2y = 0, \end{cases}