Nos problemas a seguir, use separação de variáveis quando apropriado, identifique os autovalores e autofunções, imponha as condições de contorno/iniciais, e escreva a solução como série (seno/cosseno ou exponenciais), indicando explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.
1: Considere u=u(x, t) em 0<x<L, t>0, satisfazendo
no intervalo espacial 0<x<L para t>0, com condições de contorno de Dirichlet homogêneas em x=0 e x=L. Há duas situações iniciais distintas que devemos tratar:
O que o problema pede para cada caso é: resolver a equação usando separação de variáveis quando apropriado, identificar autovalores e autofunções, impor as condições de contorno e iniciais, e escrever a solução como série (seno/cosseno ou exponenciais) indicando explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.]
Passo 2
Vamos aplicar separação de variáveis, assumindo uma solução na forma produto
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na equação e dividindo por XT obtemos
onde os coeficientes c_n são os coeficientes da série de Fourier seno da condição inicial u(x,0).
Passo 5
Vamos explicar como obter explicitamente os coeficientes c_n usando ortogonalidade das autofunções. As funções \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) são ortogonais em [0,L] com produto interno
Avaliamo esta integral explicitamente. Seja \alpha_n=\dfrac{n\pi}{L}\]. Então
\[\int_{0}^{L/2}\sin(\alpha_n x)\,dx=\left[-\frac{\cos(\alpha_n x)}{\alpha_n}\right]_{0}^{L/2} =-\frac{\cos(\alpha_n L/2)-\cos(0)}{\alpha_n} =-\frac{\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)-1}{\alpha_n}.\]
Logo
\[c_n=\frac{2}{L}\left(-\frac{\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)-1}{\alpha_n}\right) =\frac{2}{L}\cdot\frac{1-\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{\alpha_n}.\]
Substituindo \(\alpha_n=\dfrac{n\pi}{L} obtemos
Pronto — obtivemos em ambos os casos a solução por separação de variáveis, identificando autovalores \lambda_n=\kappa(n\pi/L)^2, autofunções \sin(n\pi x/L), e determinando os coeficientes c_n pela ortogonalidade. Se na hora da prova aparecer uma condição inicial diferente, a receita é a mesma: calcular c_n=(2/L)\int_0^L f(x)\sin(n\pi x/L)\,dx e montar a série com o fator temporal e^{-\kappa(n\pi/L)^2 t}. Você tá indo bem — repete esse procedimento com calma e fica mais fácil a cada exercício!
Resposta
a) u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\Big(1-\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)\Big) \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\exp\!\Big(-\kappa\big(\tfrac{n\pi}{L}\big)^2 t\Big)
b) u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4L^2}{n^3\pi^3}\big(1-(-1)^n\big) \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\exp\!\Big(-\kappa\big(\tfrac{n\pi}{L}\big)^2 t\Big)