Nos seguintes exercícios determine a área da região limitada pelas curvas dadas no plano
. Faça um esboço da região
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
no plano
e fazer um esboço dessa região.
Informações dadas: as duas curvas são (cúbica) e
(parábola). Ainda não sabemos onde elas se intersectam nem qual é a curva superior ou inferior na região fechada. A resolução começa identificando as interseções.
Informações dadas: as duas curvas são
Passo 2
A primeira coisa a fazer é encontrar os pontos de interseção das curvas, porque esses serão os limites de integração. Para intersecar, igualamos as funções:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
(explico: fatorar é escrever um polinômio como produto de fatores comuns; aqui
é comum em ambos os termos):
Uma vez fatorado, cada fator pode ser zero. Assim obtemos as soluções
e
Agora obtemos os pontos correspondentes na reta
: para
temos
, então o ponto
; para
temos
, então o ponto
. Esses dois pontos delimitam a região fechada.
Passo 3
Explico a ideia do cálculo da área entre duas curvas (a receita que você vai usar na prova): se uma curva
está acima de outra curva
num intervalo
, então a área entre elas é
Justificação simples: numa fatia vertical de largura infinitesimal
, a altura da fatia é a diferença
; somando (integrando) essas fatias de
até
obtemos a área total. Aqui vamos aplicar isso com
e
sendo
e
.
Passo 4
Precisamos identificar qual função está por cima (maior
) entre
e
. Considere a diferença
No intervalo
temos
e
, então
. Isso significa que
Conclusão:
é a curva superior e
é a curva inferior no intervalo de interesse. (Um jeito prático: testar um ponto interior, por exemplo
:
e
, então
.)
Passo 5
Agora montamos a integral com os limites que achamos em
Passo 6
Vou calcular essa integral passo a passo. Primeiro, achamos primitivas (antiderivadas) termo a termo. A primitiva de
é
porque ao derivar
volta-se a
. A primitiva de
é
. Portanto uma primitiva do integrando é
Passo 7
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando
entre
e
:
Isso simplifica para
Colocando em denominador comum
:
Passo 8
Esboço da região (como fazer na prova, passo a passo e o que observar): desenhe os eixos
e
. Marque os pontos de interseção
e
(obtidos em