Nos seguintes exercícios determine a área da região limitada pelas curvas dadas no plano O_{x y}. Faça um esboço da região
y=x^{3} e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=x^{3} e y=x^{2} no plano O_{xy} e fazer um esboço dessa região.
Informações dadas: as duas curvas são y=x^{3} (cúbica) e y=x^{2} (parábola). Ainda não sabemos onde elas se intersectam nem qual é a curva superior ou inferior na região fechada. A resolução começa identificando as interseções.

Passo 2

A primeira coisa a fazer é encontrar os pontos de interseção das curvas, porque esses serão os limites de integração. Para intersecar, igualamos as funções:
x^{3}=x^{2}.
Subtraindo x^{2} de ambos os lados:
x^{3}-x^{2}=0.
Fatorando x^{2} (explico: fatorar é escrever um polinômio como produto de fatores comuns; aqui x^{2} é comum em ambos os termos):
x^{2}(x-1)=0.
Uma vez fatorado, cada fator pode ser zero. Assim obtemos as soluções
x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=0
e
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Agora obtemos os pontos correspondentes na reta y: para x=0 temos y=0^{2}=0, então o ponto (0,0); para x=1 temos y=1^{2}=1, então o ponto (1,1). Esses dois pontos delimitam a região fechada.

Passo 3

Explico a ideia do cálculo da área entre duas curvas (a receita que você vai usar na prova): se uma curva y=f(x) está acima de outra curva y=g(x) num intervalo [a,b], então a área entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Justificação simples: numa fatia vertical de largura infinitesimal dx, a altura da fatia é a diferença f(x)-g(x); somando (integrando) essas fatias de a até b obtemos a área total. Aqui vamos aplicar isso com f e g sendo x^{2} e x^{3}.

Passo 4

Precisamos identificar qual função está por cima (maior y) entre x=0 e x=1. Considere a diferença
x^{2}-x^{3}=x^{2}(1-x).
No intervalo 0\le x\le1 temos x^{2}\ge0 e 1-x\ge0, então x^{2}(1-x)\ge0. Isso significa que
x^{2}\ge x^{3}\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Conclusão: y=x^{2} é a curva superior e y=x^{3} é a curva inferior no intervalo de interesse. (Um jeito prático: testar um ponto interior, por exemplo x=\tfrac{1}{2}: x^{2}=\tfrac{1}{4} e x^{3}=\tfrac{1}{8}, então x^{2}>x^{3}.)

Passo 5

Agora montamos a integral com os limites que achamos em

Passo 6

\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx.Á
Vou calcular essa integral passo a passo. Primeiro, achamos primitivas (antiderivadas) termo a termo. A primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3} porque ao derivar \dfrac{x^{3}}{3} volta-se a x^{2}. A primitiva de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}. Portanto uma primitiva do integrando é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}.

Passo 7

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando F entre 0 e 1:
\text{Área}=F(1)-F(0)=\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{4}}{4}\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{4}}{4}\right).Á
Isso simplifica para
\text{Área}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}.Á
Colocando em denominador comum 12:
\text{Área}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}.Á

Passo 8

Esboço da região (como fazer na prova, passo a passo e o que observar): desenhe os eixos x e y. Marque os pontos de interseção (0,0) e (1,1) (obtidos em

Resposta

\dfrac{1}{12}

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