Problems 28 through 36 are concerned with differentiation of the Laplace transform.
In each of Problems 29 through 34 use the result of Problem 28 to find the Laplace transform of the given function;
and
are real numbers and
is a positive integer.
In each of Problems 29 through 34 use the result of Problem 28 to find the Laplace transform of the given function;
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a transformar é
. -
e são números reais. - Queremos
(ou seja, a transformada de Laplace em função de ).
Nenhuma outra informação foi fornecida.
Passo 2
Lembrete da definição da transformada de Laplace (para contextualizar a técnica):
onde
é a variável complexa da transformada e a integração é em
. Esta definição será usada apenas para justificar propriedades; não é necessário calcular a integral diretamente para este exercício.
Passo 3
Propriedades úteis (explicadas de forma curta e intuitiva):
- Deslocamento na variável
(propriedade da exponencial): se , então
Significado: multiplicar
por
desloca a transformada
substituindo
por
. Aqui
é o mesmo do enunciado.
- Diferenciação em
(resultado do Problema 28): se , então
Justificação rápida: derivando por
dentro da integral de definição obtém-se um fator
, o que dá a propriedade acima.
Passo 4
Aplicar as propriedades passo a passo. Primeiro lembrar a transformada padrão de
:
válida para
quando
é real. Aqui
é o parâmetro da função seno.
Passo 5
Usar o deslocamento para incorporar o fator
. Tomando
com transformada
, tem-se
A região de convergência desloca-se adequadamente (normalmente
se antes era
).
Passo 6
Agora aplicar a propriedade de diferenciação para o fator
. Usando
como a transformada de
, obtemos
Vamos calcular essa derivada explicitamente. Defina
. Então
Aqui
. Substituindo:
Passo 7
Aplicar o sinal negativo da propriedade:
Essa é a expressão final; é comum também escrevê-la em termos de
como fizemos.