Problems 28 through 36 are concerned with differentiation of the Laplace transform.
In each of Problems 29 through 34 use the result of Problem 28 to find the Laplace transform of the given function; a and b are real numbers and n is a positive integer.
t e^{a t} \sin b t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função t e^{a t} \sin b t.
Informações dadas:
  • A função a transformar é t e^{a t} \sin b t.
  • a e b são números reais.
  • Queremos \mathcal{L}\{t e^{a t} \sin b t\}(s) (ou seja, a transformada de Laplace em função de s).
    Nenhuma outra informação foi fornecida.

Passo 2

Lembrete da definição da transformada de Laplace (para contextualizar a técnica):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada e a integração é em t. Esta definição será usada apenas para justificar propriedades; não é necessário calcular a integral diretamente para este exercício.

Passo 3

Propriedades úteis (explicadas de forma curta e intuitiva):
  • Deslocamento na variável s (propriedade da exponencial): se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a).
Significado: multiplicar f(t) por e^{a t} desloca a transformada F substituindo s por s-a. Aqui a é o mesmo do enunciado.
  • Diferenciação em s (resultado do Problema 28): se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}F(s).
Justificação rápida: derivando por s dentro da integral de definição obtém-se um fator -t, o que dá a propriedade acima.

Passo 4

Aplicar as propriedades passo a passo. Primeiro lembrar a transformada padrão de \sin b t:
\mathcal{L}\{\sin b t\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},
válida para \operatorname{Re}(s)>0 quando b é real. Aqui b é o parâmetro da função seno.

Passo 5

Usar o deslocamento para incorporar o fator e^{a t}. Tomando f(t)=\sin b t com transformada F(s)=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}}, tem-se
\mathcal{L}\{e^{a t}\sin b t\}(s)=F(s-a)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
A região de convergência desloca-se adequadamente (normalmente \operatorname{Re}(s)>a se antes era \operatorname{Re}(s)>0).

Passo 6

Agora aplicar a propriedade de diferenciação para o fator t. Usando G(s)=\dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}} como a transformada de e^{a t}\sin b t, obtemos
\mathcal{L}\{t e^{a t}\sin b t\}(s)=-\frac{d}{ds}G(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right).
Vamos calcular essa derivada explicitamente. Defina u(s)=(s-a)^{2}+b^{2}. Então
\frac{d}{ds}\left(\frac{b}{u(s)}\right)=b\cdot\frac{d}{ds}\big(u(s)^{-1}\big)=b\cdot(-1)u(s)^{-2}\,u'(s).
Aqui u'(s)=2(s-a). Substituindo:
\frac{d}{ds}\left(\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right)=-\frac{2b(s-a)}{\big((s-a)^{2}+b^{2}\big)^{2}}.

Passo 7

Aplicar o sinal negativo da propriedade:
\mathcal{L}\{t e^{a t}\sin b t\}(s)=-\left(-\frac{2b(s-a)}{\big((s-a)^{2}+b^{2}\big)^{2}}\right)=\frac{2b(s-a)}{\big((s-a)^{2}+b^{2}\big)^{2}}.
Essa é a expressão final; é comum também escrevê-la em termos de s-a como fizemos.

Resposta

\mathcal{L}\{t e^{a t}\sin b t\}(s)=\frac{2b(s-a)}{\big((s-a)^{2}+b^{2}\big)^{2}}

Exercícios relacionados