Problems 28 through 36 are concerned with differentiation of the Laplace transform.
In each of Problems 29 through 34 use the result of Problem 28 to find the Laplace transform of the given function; a and b are real numbers and n is a positive integer.
t e^{a t}

Passo 1

O enunciado dá a função t e^{a t} (com a número real) e pede a transformada de Laplace dessa função.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função a transformar é t e^{a t}.
  • a é um número real.
  • O objetivo é encontrar \mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s), isto é, a expressão em termos de s.
    Nada mais é pedido aqui — a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Lembrete da definição da transformada de Laplace e cálculo da transformada de e^{a t}.
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
desde que a integral convirja. Vamos calcular primeiro a transformada de e^{a t} porque será útil:
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Essa integral é a integral de uma exponencial decrescente se \operatorname{Re}(s)>a. Calculando-a:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt=\left[ -\frac{1}{s-a} e^{-(s-a)t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-a},
portanto
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>a.

Passo 3

Apresentar a propriedade de diferenciação (resultado do Problema 28) e explicar por que vale.
A propriedade de diferenciação em s diz, para funções adequadas f,
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\bigl(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr).
Explicação do porquê: escrevendo F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt e derivando em s (permitindo trocar derivada e integral sob hipóteses usuais de convergência), tem-se
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-s t}\bigr) f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-s t} f(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t f(t)\}(s).
Rearranjando obtemos a fórmula desejada. Vamos usá-la no próximo passo.

Passo 4

Aplicar a propriedade ao caso f(t)=e^{a t}.
Já calculamos \mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\dfrac{1}{s-a}. Pela propriedade,
\mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right).
Agora derivamos \dfrac{1}{s-a} em relação a s. Usando a regra da derivada de uma função racional:
\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right)=\frac{d}{ds}\bigl((s-a)^{-1}\bigr)=-1\cdot (s-a)^{-2}\cdot 1=-(s-a)^{-2}.
Multiplicando pelo sinal menos da propriedade:
\mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)=-\bigl( -(s-a)^{-2}\bigr)=(s-a)^{-2}=\frac{1}{(s-a)^{2}}.
A região de convergência continua sendo \operatorname{Re}(s)>a.

Passo 5

Verificação alternativa por integração direta (checagem rápida usando integração por partes).
Calcular diretamente
\mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-(s-a)t}\,dt.
Use integração por partes com u=t e dv=e^{-(s-a)t}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}. Assim
\int_{0}^{\infty} t e^{-(s-a)t}\,dt=\left. -\frac{t}{s-a}e^{-(s-a)t}\right|_{0}^{\infty}+\frac{1}{s-a}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
O termo de fronteira vale zero quando \operatorname{Re}(s)>a. A segunda integral é \dfrac{1}{s-a} (já calculada), portanto o resultado é
\frac{1}{s-a}\cdot\frac{1}{s-a}=\frac{1}{(s-a)^{2}},
confirmando o resultado obtido pela propriedade de diferenciação.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)=\frac{1}{(s-a)^{2}}, válido para \operatorname{Re}(s)>a.

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