Problems 28 through 36 are concerned with differentiation of the Laplace transform.
In each of Problems 29 through 34 use the result of Problem 28 to find the Laplace transform of the given function; a and b are real numbers and n is a positive integer.
t e^{a t}
Passo 1
O enunciado dá a função t e^{a t} (com a número real) e pede a transformada de Laplace dessa função.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A função a transformar é t e^{a t}.
a é um número real.
O objetivo é encontrar \mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s), isto é, a expressão em termos de s.
Nada mais é pedido aqui — a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Lembrete da definição da transformada de Laplace e cálculo da transformada de e^{a t}.
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
Explicação do porquê: escrevendo F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt e derivando em s (permitindo trocar derivada e integral sob hipóteses usuais de convergência), tem-se