No processo de carbonetação de uma placa de aço, uma atmosfera de carbono (com um hidrocarboneto gasoso) é usada para ajustar o a concentração de carbono na superficie par 1,0 %p. A concentração inicial é de 0,20 %p. Calcule quanto tempo será necessário na temperatura de 1000^{\circ} \mathrm{C}, para se alcançar a concentração de 0,6 \% a uma distância de 1 mm da superfície.

Passo 1

O enunciado descreve um processo de carbonetação onde a concentração de carbono na superfície é mantida constante em C_s = 1{,}0\% (em peso) e, inicialmente, todo o aço tinha C_0 = 0{,}20\%. Queremos saber em que tempo t a x = 1{,}0\\ \mathrm{mm} da superfície a concentração atinge C(x,t)=0{,}6\%.
O conteúdo que vamos usar é a solução da segunda lei de Fick para difusão unidimensional com concentração de superfície constante:
C(x,t) = C_s - (C_s - C_0)\,\mathrm{erf}\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr).

Passo 2

Reescrevendo para isolar o argumento da função erro, definimos
\theta = \frac{C(x,t)-C_0}{C_s - C_0}.
Da solução de Fick, temos
\theta = 1 - \mathrm{erf}\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{erf}\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr) = 1 - \theta.
Portanto
\frac{x}{2\sqrt{D\,t}} = \mathrm{erf}^{-1}(1-\theta).

Passo 3

Substituímos os valores de concentração: C_s = 1{,}0, C_0 = 0{,}20 e C(x,t)=0{,}6.
\theta = \frac{0{,}6 - 0{,}20}{1{,}0 - 0{,}20} = \frac{0{,}40}{0{,}80} = 0{,}50.
Logo
1 - \theta = 0{,}50 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{erf}^{-1}(0{,}50)\approx 0{,}4769.

Passo 4

Agora escrevemos a relação para o tempo:
\frac{x}{2\sqrt{D\,t}} = 0{,}4769 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{x^2}{4\,D\,(0{,}4769)^2}.

Passo 5

Precisamos do coeficiente de difusão de carbono em austenita a 1000\,{}^\circ\mathrm{C}. Usamos a lei de Arrhenius
D = D_0 \exp\!\Bigl(-\frac{Q}{R\,T}\Bigr),
com D_0 = 2{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, Q = 142\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}, R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)} e T = 1000+273 = 1273\\ \mathrm{K}.
Calculando o expoente:
\exp\!\Bigl(-\frac{142\times10^3}{8{,}314\times1273}\Bigr) \approx \exp(-13{,}41)\approx1{,}49\times10^{-6},
portanto
D \approx 2{,}3\times10^{-5}\times1{,}49\times10^{-6} \approx3{,}43\times10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 6

Agora substituímos x = 1{,}0\\ \mathrm{mm} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, D = 3{,}43\times10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s} e \mathrm{erf}^{-1}(0{,}50)=0{,}4769:
t = \frac{(1{,}0\times10^{-3})^2}{4\cdot3{,}43\times10^{-11}\cdot(0{,}4769)^2} = \frac{1{,}0\times10^{-6}}{4\cdot3{,}43\times10^{-11}\cdot0{,}2275}} \approx3{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Finalmente convertemos para horas:
t \approx3{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{s}\times\frac{1\\ \mathrm{h}}{3600\\ \mathrm{s}} \approx8{,}9\\ \mathrm{h}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 8{,}9 horas.

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