12- Prove que para uma estrutura CCC os planos ( 001 ) e ( 002 ) apresentam o mesmo número de átomos. Discuta qual a família de planos apresenta maior densidade planar para esta estrutura CCC.

Passo 1

O enunciado pede para uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC, ou BCC) mostrar que os planos (001) e (002) contêm o mesmo número de átomos por célula‐unidade, e depois discutir qual família de planos \{hkl\} dessa estrutura apresenta maior densidade planar. Para isso vamos:
1. Identificar as posições dos átomos na rede CCC.
2. Contar quantos átomos efetivos há nos planos (001) e (002).
3. Definir densidade planar e calcular para as famílias típicas \{100\}, \{110\} e \{111\}.
4. Comparar e concluir qual é a maior.

Passo 2

Na rede CCC de aresta a cada célula‐unidade tem
– átomos nos 8 vértices, em (0,0,0), (1,0,0), ···, (1,1,1), cada um compartilhado por 8 células;
– um átomo “de corpo” em \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right), pertencendo integralmente àquela célula.

Passo 3

Plano (001): equivale às faces z=0 e z=a. Em cada uma dessas faces há 4 átomos de vértice. Cada vértice contribui com \frac{1}{8} para a célula e com \frac{1}{2} para o plano (porque cada vértice está em duas faces paralelas z=0 e z=a), logo a contribuição efetiva de cada vértice para UM plano é
\frac{1}{8}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{16}.
Como são 4 vértices no plano, o total por plano é
4\times\frac{1}{16}= \frac{1}{4}
e como há duas faces equivalentes z=0 e z=a num período de rede, o número de átomos “por célula‐unidade” num plano (001) efetivo é
2\times\frac{1}{4}=1.

Passo 4

Plano (002): corresponde ao plano médio z=\tfrac{a}{2}. Nele cai exatamente o átomo de corpo centrado, que não é compartilhado. Logo, há
1
átono por célula‐unidade nesse plano.

Passo 5

Portanto ambos planos, (001) e (002), contêm o mesmo número de átomos por célula‐unidade, isto é, 1.

Passo 6

Densidade planar (PD) define‐se por
\mathrm{PD}_{hkl}=\frac{\text{número de átomos por célula no plano}}{\text{área da célula no plano}}.úáéáé
Para aresta a:
\mathrm{PD}_{100}=\frac{1}{a^{2}},\quad \mathrm{PD}_{110}=\frac{2}{\left(a\times \frac{a}{\sqrt{2}}\right)}=\frac{2\sqrt{2}}{a^{2}},\quad \mathrm{PD}_{111}=\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\right)}=\frac{2}{\sqrt{3}\,a^{2}}.

Passo 7

Comparando numericamente (em unidades de 1/a^2):
\mathrm{PD}_{110}\approx2{,}828,\quad \mathrm{PD}_{111}\approx1{,}155,\quad \mathrm{PD}_{100}=1.
Logo a maior densidade planar está na família \{110\}.

Resposta

A família de planos \{110\} possui a maior densidade planar na estrutura CCC (BCC).

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