12- Prove que para uma estrutura CCC os planos ( 001 ) e ( 002 ) apresentam o mesmo número de átomos. Discuta qual a família de planos apresenta maior densidade planar para esta estrutura CCC.
Passo 1
O enunciado pede para uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC, ou BCC) mostrar que os planos
e
contêm o mesmo número de átomos por célula‐unidade, e depois discutir qual família de planos
dessa estrutura apresenta maior densidade planar. Para isso vamos:
. Identificar as posições dos átomos na rede CCC.
. Contar quantos átomos efetivos há nos planos
e
.
. Definir densidade planar e calcular para as famílias típicas
,
e
.
. Comparar e concluir qual é a maior.
Passo 2
Na rede CCC de aresta
cada célula‐unidade tem
– átomos nos vértices, em
,
, ···,
, cada um compartilhado por
células;
– um átomo “de corpo” em , pertencendo integralmente àquela célula.
– átomos nos
– um átomo “de corpo” em
Passo 3
Plano
: equivale às faces
e
. Em cada uma dessas faces há
átomos de vértice. Cada vértice contribui com
para a célula e com
para o plano (porque cada vértice está em duas faces paralelas
e
), logo a contribuição efetiva de cada vértice para UM plano é
Como são
vértices no plano, o total por plano é
e como há duas faces equivalentes
e
num período de rede, o número de átomos “por célula‐unidade” num plano
efetivo é
Passo 4
Plano
: corresponde ao plano médio
. Nele cai exatamente o átomo de corpo centrado, que não é compartilhado. Logo, há
átono por célula‐unidade nesse plano.
Passo 5
Portanto ambos planos,
e
, contêm o mesmo número de átomos por célula‐unidade, isto é,
.
Passo 6
Densidade planar (PD) define‐se por
Para aresta
:
Passo 7
Comparando numericamente (em unidades de
):
Logo a maior densidade planar está na família
.
Resposta
A família de planos
possui a maior densidade planar na estrutura CCC (BCC).