4- Em um processo de cementação sólida de uma peça de aço SAE 8620, 0,20%C, o forno foi colocado a uma temperatura de
com uma concentração de carbono na superfície externa da peça é de
. Qual deve ser o tempo de cementação para atingir um teor de carbono de
na posição de
abaixo da superfície? Sabe-se que o coeficiente de difusão do carbono no ferro nessa temperatura é de
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos os valores do enunciado):
(teor inicial de carbono no aço),
(concentração de carbono na superfície mantida pelo banho),
(teor desejado a uma certa profundidade),
(posição abaixo da superfície onde queremos
),
(coeficiente de difusão do carbono à temperatura dada).
Dados fornecidos (peguei todos os valores do enunciado):
O que o problema pede: determinar o tempo de cementação
necessário para que, a
abaixo da superfície, o carbono atinja
.
Passo 2
Qual é o modelo físico e a fórmula que vamos usar?
Para cementação com superfície mantida em concentração constante e peça inicialmente com concentração uniforme
, o modelo de difusão unidimensional em semi-infinito produz a solução conhecida (solução de Dirichlet constante na superfície):
Para cementação com superfície mantida em concentração constante
Explicando a fórmula de forma simples:
-
é a concentração no ponto a profundidade no tempo . -
é a concentração inicial (antes da cementação). -
é a concentração mantida na superfície durante o processo. -
é o coeficiente de difusão. -
é a função erro complementar; vale entre (em ) e (em ).
Esta expressão cumpre as condições de contorno: emdá e quando volta para .
Passo 3
Isolar a função erro complementar para encontrar a variável adimensional. Subtraindo
e dividindo por
obtemos:
Definindo
temos
Para achar
isolamos
(através da inversa da
) e depois resolvemos para
:
Passo 4
Vamos calcular numericamente a razão do lado direito (todos os valores estão no enunciado):
Logo
Passo 5
Para achar
usamos a relação entre
e
:
Aqui
, então
Agora precisamos de
. Como não temos calculadora simbólica, fazemos uma interpolação simples usando valores tabelados conhecidos de
:
valores aproximados: e
.
Fazendo uma interpolação linear entre e
para atingir
:
valores aproximados:
Fazendo uma interpolação linear entre
diferença entre pontos:
.
quanto falta da base: .
fração = . Então
quanto falta da base:
fração =
Assim usamos
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula para
:
Calculando passo a passo:
então
Passo 7
Finalmente:
Convertendo para horas:
que é cerca de
horas
minutos
segundos (aproximação).
Passo 8
Resumo didático-curto: usamos a solução padrão da equação de difusão com superfície mantida em concentração fixa, transformamos para obter o argumento adimensional
da
, encontrámos
por inversão (convertendo para
e interpolando em tabela) e daí calculámos
. É o procedimento típico para questões de cementação em provas: lembrar da fórmula com
/
, calcular a razão
, inverter a função erro e usar
. Força aí — dá pra decorar esse fluxo e repetir em outras questões parecidas!