4- Em um processo de cementação sólida de uma peça de aço SAE 8620, 0,20%C, o forno foi colocado a uma temperatura de 980^{\circ} \mathrm{C} com uma concentração de carbono na superfície externa da peça é de 2,0 \% \mathrm{C}. Qual deve ser o tempo de cementação para atingir um teor de carbono de 0,9 \% na posição de 0,9 \mathrm{~mm} abaixo da superfície? Sabe-se que o coeficiente de difusão do carbono no ferro nessa temperatura é de 1,6 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos os valores do enunciado):
C_0 = 0{,}20\% (teor inicial de carbono no aço),
C_s = 2{,}0\% (concentração de carbono na superfície mantida pelo banho),
C(x,t) = 0{,}9\% (teor desejado a uma certa profundidade),
x = 0{,}9\\ \mathrm{mm} = 0{,}0009\\ \mathrm{m} (posição abaixo da superfície onde queremos 0{,}9\%),
D = 1{,}6\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (coeficiente de difusão do carbono à temperatura dada).
O que o problema pede: determinar o tempo de cementação t necessário para que, a x=0{,}9\\ \mathrm{mm} abaixo da superfície, o carbono atinja 0{,}9\%.

Passo 2

Qual é o modelo físico e a fórmula que vamos usar?
Para cementação com superfície mantida em concentração constante C_s e peça inicialmente com concentração uniforme C_0, o modelo de difusão unidimensional em semi-infinito produz a solução conhecida (solução de Dirichlet constante na superfície):
C(x,t) = C_0 + (C_s - C_0)\,\mathrm{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
Explicando a fórmula de forma simples:
  • C(x,t) é a concentração no ponto a profundidade x no tempo t.
  • C_0 é a concentração inicial (antes da cementação).
  • C_s é a concentração mantida na superfície durante o processo.
  • D é o coeficiente de difusão.
  • \mathrm{erfc} é a função erro complementar; vale entre 1 (em x=0) e 0 (em x\to\infty).
    Esta expressão cumpre as condições de contorno: em x=0 C=C_s e quando x\to\infty volta para C_0.

Passo 3

Isolar a função erro complementar para encontrar a variável adimensional. Subtraindo C_0 e dividindo por (C_s-C_0) obtemos:
\mathrm{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right)=\frac{C(x,t)-C_0}{C_s-C_0}.
Definindo
z \equiv \frac{x}{2\sqrt{D\,t}},
temos
\mathrm{erfc}(z)=\frac{C(x,t)-C_0}{C_s-C_0}.
Para achar t isolamos z (através da inversa da \mathrm{erfc}) e depois resolvemos para t:
z = \mathrm{erfc}^{-1}\!\left(\frac{C(x,t)-C_0}{C_s-C_0}\right), \qquad t = \frac{x^2}{4 D z^2}.

Passo 4

Vamos calcular numericamente a razão do lado direito (todos os valores estão no enunciado):
C_s - C_0 = 2{,}0 - 0{,}20 = 1{,}8\\ (\%\text{ em unidades percentuais}),
C(x,t) - C_0 = 0{,}9 - 0{,}20 = 0{,}7.
Logo
\mathrm{erfc}(z)=\frac{0{,}7}{1{,}8}=0{,}388888\ldots \approx 0{,}3889.

Passo 5

Para achar z usamos a relação entre \mathrm{erfc} e \mathrm{erf}:
\mathrm{erfc}(z)=w \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{erf}(z)=1-w.
Aqui w=0{,}3889, então
\mathrm{erf}(z)=1-0{,}3889=0{,}6111.
Agora precisamos de z=\mathrm{erf}^{-1}(0{,}6111). Como não temos calculadora simbólica, fazemos uma interpolação simples usando valores tabelados conhecidos de \mathrm{erf}:
valores aproximados: \mathrm{erf}(0{,}60)\approx 0{,}603856 e \mathrm{erf}(0{,}61)\approx 0{,}617075.
Fazendo uma interpolação linear entre 0{,}60 e 0{,}61 para atingir 0{,}6111:
diferença entre pontos: 0{,}617075-0{,}603856=0{,}013219.
quanto falta da base: 0{,}6111-0{,}603856=0{,}007244.
fração = 0{,}007244/0{,}013219\approx 0{,}548. Então
z \approx 0{,}60 + 0{,}548\times 0{,}01 \approx 0{,}6055.
Assim usamos z\approx 0{,}6055.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula para t:
t = \frac{x^2}{4 D z^2}.
Calculando passo a passo: x=0{,}0009\\ \mathrm{m} então
x^2 = (0{,}0009)^2 = 8{,}1\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.
z^2 \approx (0{,}6055)^2 \approx 0{,}3666.
4 D z^2 = 4\times(1{,}6\times 10^{-11})\times 0{,}3666 \approx 2{,}3465\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 7

Finalmente:
t \approx \frac{8{,}1\times 10^{-7}}{2{,}3465\times 10^{-11}} \approx 3{,}4535\times 10^{4}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para horas:
t \approx \frac{3{,}4535\times 10^{4}}{3600} \approx 9{,}59\\ \mathrm{h},
que é cerca de 9 horas 35 minutos 35 segundos (aproximação).

Passo 8

Resumo didático-curto: usamos a solução padrão da equação de difusão com superfície mantida em concentração fixa, transformamos para obter o argumento adimensional z da \mathrm{erfc}, encontrámos z por inversão (convertendo para \mathrm{erf} e interpolando em tabela) e daí calculámos t. É o procedimento típico para questões de cementação em provas: lembrar da fórmula com \mathrm{erf}/ \mathrm{erfc}, calcular a razão (C(x,t)-C_0)/(C_s-C_0), inverter a função erro e usar t=x^2/(4Dz^2). Força aí — dá pra decorar esse fluxo e repetir em outras questões parecidas!

Resposta

t \approx 3{,}45\times 10^{4}\\ \mathrm{s} \approx 9{,}59\\ \mathrm{h}

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