A dissipação de energia na fonte de potência de um microcomputador é de 300 W . Normalmente, essa energia é dissipada por Convecção Forçada. Sabe-se, contudo, que a temperatura de trabalho é considerada elevada. Pretende-se reduzí-la utilizando-se cinco aletas iguais, uma em cada face exposta (a outra é apoiada na base e pode ser considerada isolada), cujos
dados são: espessura
, comprimento
, largura
, material cobre (
), dimensões da fonte (cubo de lado
), material utilizado na fabricação da fonte é tal que ela pode ser considerada de temperatura uniforme e coeficiente de troca de calor por convecção
com
. Pede-se:
(a) Temperatura da superfície da fonte sem aletas.(Resp.:
)
b) Temperatura da superfície da fonte com aletas.(Resp.:
)
dados são: espessura
(a) Temperatura da superfície da fonte sem aletas.(Resp.:
b) Temperatura da superfície da fonte com aletas.(Resp.:
Passo 1
O enunciado pede as temperaturas da fonte (superfície uniforme) nos dois casos: sem aletas e com cinco aletas idênticas (uma em cada face exposta). Dados fornecidos:
Não se resolve nada aqui, apenas listo o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Cálculo da temperatura da fonte sem aletas.
Explicação: sem aletas, todo o calor é removido por convecção nas cinco faces expostas. A lei de resfriamento por convecção é
Explicação: sem aletas, todo o calor
onde
é a área total de troca convectiva e
a temperatura da superfície da fonte. Aqui a área de uma face é
, logo a área total exposta é
Calculemos:
Isolando
na equação da convecção:
Substituindo números:
Portanto
Passo 3
Modelagem das aletas e equação da aleta (aulas rápidas).
Explicação didática: cada aleta é uma aleta reta de seção retangular que conduz calor pela espessura até as superfícies externas, de onde o calor sai por convecção. Para uma aleta de seção constante, a solução unidimensional da equação da temperatura leva à expressão (assumindo que a aleta é longa e que o regime é estacionário):
Explicação didática: cada aleta é uma aleta reta de seção retangular que conduz calor pela espessura até as superfícies externas, de onde o calor sai por convecção. Para uma aleta de seção constante, a solução unidimensional da equação da temperatura leva à expressão (assumindo que a aleta é longa e que o regime é estacionário):
quando se usa a aproximação de ponta adiabática (a ponta contribui pouco). Aqui:
-
é a potência dissipada por uma aleta, -
é a diferença de temperatura entre a base (a superfície da fonte) e o ambiente; como a fonte tem temperatura uniforme, , -
é o perímetro da seção transversal da aleta (área exposta por unidade de comprimento), -
é a área da seção transversal da aleta (área que conduz calor), -
é a condutividade térmica da aleta, -
, -
é o comprimento da aleta, -
é a função hiperbólica tangente.
Comentário prático: a ponta da aleta tem área muito pequena comparada às faces laterais, então a aproximação adiabática da ponta é apropriada; isso simplifica a expressão para usar
. Vou calcular com essa expressão (ela fornece o resultado pedido dentro de arredondamento).
Passo 4
Cálculo dos parâmetros da aleta (geometria) e
.
As aletas têm seção retangular , então
As aletas têm seção retangular
O perímetro da seção é
Agora calcule
:
Calcule as partes:
Multiplicando pelo comprimento:
Calcule
:
Calcule também o fator
:
Passo 5
Cálculo da potência dissipada por uma aleta e total pelas 5 aletas; soma com convecção da superfície da fonte que fica livre.
Usando a fórmula (ponta aproximadamente adiabática):
Usando a fórmula (ponta aproximadamente adiabática):
Substituindo valores numéricos:
Energia dissipada por 5 aletas:
Agora a parte da fonte que ainda faz convecção direta (cada face tem a pequena área ocupada pela base da aleta, que é
, então a área livre por face é
). Calcule a área convectiva restante por face:
Área total livre (5 faces):
Potência por convecção diretamente da base:
Potência total removida (aletas + base) é
Impondo balanço de energia
:
Logo a temperatura da superfície da fonte com aletas é
(Devido a pequenos arredondamentos e a aproximação da ponta adiabática, esse resultado é numérico muito próximo do valor esperado
indicado no enunciado.)
Resposta
(a)
(b)
(b)