A dissipação de energia na fonte de potência de um microcomputador é de 300 W . Normalmente, essa energia é dissipada por Convecção Forçada. Sabe-se, contudo, que a temperatura de trabalho é considerada elevada. Pretende-se reduzí-la utilizando-se cinco aletas iguais, uma em cada face exposta (a outra é apoiada na base e pode ser considerada isolada), cujos
dados são: espessura \mathrm{t}=0,01 \mathrm{~m}, comprimento \mathrm{L}=0,40 \mathrm{~m}, largura \mathrm{w}=0,15 \mathrm{~m}, material cobre ( k=400 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) ), dimensões da fonte (cubo de lado 0,15 \mathrm{~m} ), material utilizado na fabricação da fonte é tal que ela pode ser considerada de temperatura uniforme e coeficiente de troca de calor por convecção h=50 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) com \mathrm{T}_{\text {ambiente }}=30^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se:
(a) Temperatura da superfície da fonte sem aletas.(Resp.: 83,3^{\circ} \mathrm{C} )
b) Temperatura da superfície da fonte com aletas.(Resp.: 44,794^{\circ} \mathrm{C} )

Passo 1

O enunciado pede as temperaturas da fonte (superfície uniforme) nos dois casos: sem aletas e com cinco aletas idênticas (uma em cada face exposta). Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Potência dissipada: }Q=300\\ \mathrm{W},\\\ &\text{Coeficiente de convecção: }h=50\\ \mathrm{W/(m^{2}K)},\\\ &T_{\text{amb}}=30^{\circ}\mathrm{C},\\\ &\text{Cubo da fonte: lado }a=0{,}15\\ \mathrm{m}\\ (\text{uma face apoiada/isolada}),\\\ &\text{Número de faces expostas: }5,\\\ &\text{Aletas (cada): }t=0{,}01\\ \mathrm{m},\\ L=0{,}40\\ \mathrm{m},\\ w=0{,}15\\ \mathrm{m},\\ k=400\\ \mathrm{W/(mK)}. \end{aligned}êçãú
Não se resolve nada aqui, apenas listo o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Cálculo da temperatura da fonte sem aletas.
Explicação: sem aletas, todo o calor Q é removido por convecção nas cinco faces expostas. A lei de resfriamento por convecção é
Q=hA(T_s-T_{\text{amb}}),
onde A é a área total de troca convectiva e T_s a temperatura da superfície da fonte. Aqui a área de uma face é a^2, logo a área total exposta é
A_{\text{sem}}=5a^2=5(0{,}15)^2.
Calculemos:
a^2=(0{,}15)^2=0{,}0225\\ \mathrm{m^2},
A_{\text{sem}}=5\times 0{,}0225=0{,}1125\\ \mathrm{m^2}.
Isolando T_s na equação da convecção:
T_s=T_{\text{amb}}+\frac{Q}{hA_{\text{sem}}}.
Substituindo números:
hA_{\text{sem}}=50\times 0{,}1125=5{,}625\\ \mathrm{W/K},
\Delta T=\frac{Q}{hA_{\text{sem}}}=\frac{300}{5{,}625}=53{,}333\\ \mathrm{K}.
Portanto
T_s=T_{\text{amb}}+\Delta T=30+53{,}333=83{,}333^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 3

Modelagem das aletas e equação da aleta (aulas rápidas).
Explicação didática: cada aleta é uma aleta reta de seção retangular que conduz calor pela espessura até as superfícies externas, de onde o calor sai por convecção. Para uma aleta de seção constante, a solução unidimensional da equação da temperatura leva à expressão (assumindo que a aleta é longa e que o regime é estacionário):
q_f=\sqrt{hPkA_c}\,\theta_b\,\operatorname{tanh}(mL),
quando se usa a aproximação de ponta adiabática (a ponta contribui pouco). Aqui:
  • q_f é a potência dissipada por uma aleta,
  • \theta_b=T_b-T_{\text{amb}} é a diferença de temperatura entre a base (a superfície da fonte) e o ambiente; como a fonte tem temperatura uniforme, T_b=T_s,
  • P é o perímetro da seção transversal da aleta (área exposta por unidade de comprimento),
  • A_c é a área da seção transversal da aleta (área que conduz calor),
  • k é a condutividade térmica da aleta,
  • m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}},
  • L é o comprimento da aleta,
  • \operatorname{tanh} é a função hiperbólica tangente.
Comentário prático: a ponta da aleta tem área muito pequena comparada às faces laterais, então a aproximação adiabática da ponta é apropriada; isso simplifica a expressão para usar \operatorname{tanh}(mL). Vou calcular com essa expressão (ela fornece o resultado pedido dentro de arredondamento).

Passo 4

Cálculo dos parâmetros da aleta (geometria) e m.
As aletas têm seção retangular w\times t, então
A_c=wt=0{,}15\times 0{,}01=0{,}0015\\ \mathrm{m^2}.
O perímetro da seção é
P=2(w+t)=2(0{,}15+0{,}01)=2\times 0{,}16=0{,}32\\ \mathrm{m}.
Agora calcule m:
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}=\sqrt{\dfrac{50\times 0{,}32}{400\times 0{,}0015}}.
Calcule as partes:
50\times 0{,}32=16,\quad 400\times 0{,}0015=0{,}6,
\dfrac{16}{0{,}6}=26{,}666\ldots,\quad m=\sqrt{26{,}666\ldots}=5{,}16398\\ \mathrm{m^{-1}}.
Multiplicando pelo comprimento:
mL=5{,}16398\times 0{,}40=2{,}0656.
Calcule \operatorname{tanh}(mL):
\operatorname{tanh}(2{,}0656)\approx 0{,}96845.
Calcule também o fator \sqrt{hPkA_c}:
hPkA_c=50\times 0{,}32\times 400\times 0{,}0015=9{,}6,
\sqrt{hPkA_c}=\sqrt{9{,}6}=3{,}0983867.

Passo 5

Cálculo da potência dissipada por uma aleta e total pelas 5 aletas; soma com convecção da superfície da fonte que fica livre.
Usando a fórmula (ponta aproximadamente adiabática):
q_f=\sqrt{hPkA_c}\,\theta_b\,\operatorname{tanh}(mL).
Substituindo valores numéricos:
q_f=3{,}0983867\;\theta_b\times 0{,}96845\approx 3{,}00023\;\theta_b\\ \mathrm{(W)}.
Energia dissipada por 5 aletas:
Q_{\text{aletas}}=5q_f\approx 5\times 3{,}00023\;\theta_b=15{,}00115\;\theta_b.
Agora a parte da fonte que ainda faz convecção direta (cada face tem a pequena área ocupada pela base da aleta, que é w\times t, então a área livre por face é a^2-wt). Calcule a área convectiva restante por face:
A_{\text{face,livre}}=a^2-wt=0{,}0225-0{,}0015=0{,}021\\ \mathrm{m^2}.
Área total livre (5 faces):
A_{\text{base}}=5\times 0{,}021=0{,}105\\ \mathrm{m^2}.
Potência por convecção diretamente da base:
Q_{\text{base}}=hA_{\text{base}}\theta_b=50\times 0{,}105\;\theta_b=5{,}25\;\theta_b.
Potência total removida (aletas + base) é
Q_{\text{total}}=(Q_{\text{aletas}}+Q_{\text{base}})=(15{,}00115+5{,}25)\theta_b=20{,}25115\;\theta_b.
Impondo balanço de energia Q=Q_{\text{total}}:
300=20{,}25115\;\theta_b \quad\Longrightarrow\quad \theta_b=\frac{300}{20{,}25115}=14{,}8149\\ \mathrm{K}.
Logo a temperatura da superfície da fonte com aletas é
T_s=T_{\text{amb}}+\theta_b=30+14{,}8149=44{,}8149^{\circ}\mathrm{C}.
(Devido a pequenos arredondamentos e a aproximação da ponta adiabática, esse resultado é numérico muito próximo do valor esperado 44{,}794^{\circ}\mathrm{C} indicado no enunciado.)

Resposta

(a) 83{,}333^{\circ}\mathrm{C}
(b) 44{,}815^{\circ}\mathrm{C}

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