Em um processo de cementação sólida de uma peça de aço SAE 8620, 0,22%C, o forno foi colocado a uma temperatura de
com uma concentração de carbono na superfície externa da peça é de
. A peça foi deixada no forno por 10 horas e qual deve ser a concentração de carbono a
abaixo da superfície?
Sabe-se que o coeficiente de difusão do carbono no ferro nessa temperatura é de
Sabe-se que o coeficiente de difusão do carbono no ferro nessa temperatura é de
Passo 1
O enunciado pede: determinar a concentração de carbono a
abaixo da superfície de uma peça de aço após cementação por
horas, sabendo que a concentração inicial no interior é
e a concentração na superfície é mantida em
. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática e sem complicar demais):
- Quando temos uma peça inicialmente com concentração uniforme
e, ao tempo , a superfície passa a ser mantida numa concentração constante , o perfil de concentração no interior é governado pela segunda lei de Fick. Para um corpo suficientemente grande (podemos modelar como semi-infinito) e superfície com concentração fixa, a solução analítica dessa lei é conhecida e envolve a função erro ( ). - A solução que vamos usar é a expressão padrão para difusão em semi-infinito com concentração superficial constante:
Explicando cada símbolo:
-
é a concentração no ponto a profundidade após tempo . -
é a concentração mantida na superfície. -
é a concentração inicial (profundidade infinita). -
é o coeficiente de difusão (unidades ). -
é a função erro; numericamente varia entre (em ) e (quando o argumento tende a ). A presença da aparece da solução da equação diferencial de difusão quando aplicamos as condições de contorno desse problema.
Passo 3
Converter unidades para consistência (sempre importante!):
Passo 4
Calcular o termo
que aparece no denominador do argumento da função erro. Primeiro
:
Agora a raiz quadrada:
Finalmente
(Observação rápida sobre a conta: para
eu usei
e
, obtendo o valor numérico apresentado.)
Passo 5
Calcular o argumento da função erro:
Passo 6
Avaliar a função erro
em
. Vou usar uma aproximação numérica bem conhecida (fórmula de Abramowitz–Stegun) para computar
de forma manual e transparente:
A aproximação usada é
A aproximação usada é
com
e constantes
Agora aplicando com
:
Calcular
:
Poderíamos calcular
e o somatório
. Fazendo as multiplicações (mostro os valores arredondados em cada passo para manter legibilidade):
Agora os termos:
Somando:
Calcular
com
:
Então
Portanto
(Resumo: a avaliação cuidadosa da
dá aproximadamente
.)
Passo 7
Usar a fórmula da Passo 2 com
.
Primeiro calcular a diferença entre superfície e interior:
Primeiro calcular a diferença entre superfície e interior:
Multiplicar pelo erro:
Finalmente:
Passo 8
Interpretação curta e motivação: o resultado significa que, após
horas com superfície em
, a
de profundidade a concentração aumentou de
para cerca de
. Dá pra ver que a difusão é relativamente lenta (por isso o aumento não chega perto de
tão fundo), o que é consistente com o pequeno valor de
. Força aí nos estudos — esse tipo de conta é padrão em problemas de cementação: montar a fórmula certa, cuidar das unidades e avaliar a função erro com cuidado.