Em um processo de cementação sólida de uma peça de aço SAE 8620, 0,22%C, o forno foi colocado a uma temperatura de 980^{\circ} \mathrm{C} com uma concentração de carbono na superfície externa da peça é de 2,2 \% \mathrm{C}. A peça foi deixada no forno por 10 horas e qual deve ser a concentração de carbono a 1,2 \mathrm{~mm} abaixo da superfície?
Sabe-se que o coeficiente de difusão do carbono no ferro nessa temperatura é de 1,6 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a concentração de carbono a 1,2\\ \mathrm{mm} abaixo da superfície de uma peça de aço após cementação por 10 horas, sabendo que a concentração inicial no interior é 0{,}22\%\\ \mathrm{C} e a concentração na superfície é mantida em 2{,}2\%\\ \mathrm{C}. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
C_0 = 0{,}22\%\\ \mathrm{C}\quad(\text{concentração inicial no interior})çã
C_s = 2{,}2\%\\ \mathrm{C}\quad(\text{concentração mantida na superfície})çãí
x = 1{,}2\\ \mathrm{mm}\quad(\text{profundidade onde queremos }C)
t = 10\\ \mathrm{h}\quad(\text{tempo de exposição})çã
D = 1{,}6\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}\quad(\text{coeficiente de difusão do carbono a }980^\circ\mathrm{C})ã

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática e sem complicar demais):
  • Quando temos uma peça inicialmente com concentração uniforme C_0 e, ao tempo t=0, a superfície passa a ser mantida numa concentração constante C_s, o perfil de concentração no interior é governado pela segunda lei de Fick. Para um corpo suficientemente grande (podemos modelar como semi-infinito) e superfície com concentração fixa, a solução analítica dessa lei é conhecida e envolve a função erro ( \operatorname{erf}).
  • A solução que vamos usar é a expressão padrão para difusão em semi-infinito com concentração superficial constante:
C(x,t) = C_s - \bigl(C_s - C_0\bigr)\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
Explicando cada símbolo:
  • C(x,t) é a concentração no ponto a profundidade x após tempo t.
  • C_s é a concentração mantida na superfície.
  • C_0 é a concentração inicial (profundidade infinita).
  • D é o coeficiente de difusão (unidades \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
  • \operatorname{erf}(\cdot) é a função erro; numericamente varia entre 0 (em 0) e 1 (quando o argumento tende a \infty). A presença da \operatorname{erf} aparece da solução da equação diferencial de difusão quando aplicamos as condições de contorno desse problema.

Passo 3

Converter unidades para consistência (sempre importante!):
x = 1{,}2\\ \mathrm{mm} = 1{,}2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},
t = 10\\ \mathrm{h} = 10\times 3600\\ \mathrm{s} = 36000\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular o termo 2\sqrt{D\,t} que aparece no denominador do argumento da função erro. Primeiro D\,t:
D\,t = 1{,}6\times 10^{-11}\times 36000 = 5{,}76\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{D\,t} = \sqrt{5{,}76\times 10^{-7}} = 2{,}4\times 10^{-3{,}5}\\ \mathrm{m}\approx 7{,}5895\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Finalmente
2\sqrt{D\,t} \approx 2\times 7{,}5895\times 10^{-4}\\ \mathrm{m} = 1{,}5179\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
(Observação rápida sobre a conta: para \sqrt{5{,}76\times 10^{-7}} eu usei \sqrt{5{,}76}=2{,}4 e \sqrt{10^{-7}}=10^{-3{,}5}, obtendo o valor numérico apresentado.)

Passo 5

Calcular o argumento da função erro:
z \equiv \frac{x}{2\sqrt{D\,t}} = \frac{1{,}2\times 10^{-3}}{1{,}5179\times 10^{-3}} \approx 0{,}7909.

Passo 6

Avaliar a função erro \operatorname{erf}(z) em z\approx 0{,}7909. Vou usar uma aproximação numérica bem conhecida (fórmula de Abramowitz–Stegun) para computar \operatorname{erf} de forma manual e transparente:
A aproximação usada é
\operatorname{erf}(x)\approx 1 - S(x)\,e^{-x^2},
com
S(x) = a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4 + a_5 t^5,
t=\frac{1}{1+p x},
e constantes
p=0{,}3275911,\quad a_1=0{,}254829592,\\ a_2=-0{,}284496736,\\ a_3=1{,}421413741,
a_4=-1{,}453152027,\\ a_5=1{,}061405429.
Agora aplicando com x=z=0{,}7909:
Calcular t:
p x \approx 0{,}3275911\times 0{,}7909 \approx 0{,}25919,
t=\frac{1}{1+0{,}25919}\approx 0{,}79391.
Poderíamos calcular t^2,t^3,t^4,t^5 e o somatório S. Fazendo as multiplicações (mostro os valores arredondados em cada passo para manter legibilidade):
t\approx 0{,}79391,\quad t^2\approx 0{,}63029,\quad t^3\approx 0{,}50040,
t^4\approx 0{,}39727,\quad t^5\approx 0{,}31539.
Agora os termos:
a_1 t \approx 0{,}254829592\times 0{,}79391 \approx 0{,}20236,
a_2 t^2 \approx -0{,}284496736\times 0{,}63029 \approx -0{,}17926,
a_3 t^3 \approx 1{,}421413741\times 0{,}50040 \approx 0{,}71104,
a_4 t^4 \approx -1{,}453152027\times 0{,}39727 \approx -0{,}57724,
a_5 t^5 \approx 1{,}061405429\times 0{,}31539 \approx 0{,}33482.
Somando:
S(x)\approx 0{,}20236 - 0{,}17926 + 0{,}71104 - 0{,}57724 + 0{,}33482 \approx 0{,}49172.
Calcular e^{-x^2} com x=z:
x^2\approx 0{,}7909^2 \approx 0{,}62552,\quad e^{-x^2}\approx e^{-0{,}62552}\approx 0{,}5349.
Então
S(x)\,e^{-x^2}\approx 0{,}49172\times 0{,}5349 \approx 0{,}2629.
Portanto
\operatorname{erf}(0{,}7909)\approx 1 - 0{,}2629 = 0{,}7371.
(Resumo: a avaliação cuidadosa da \operatorname{erf} dá aproximadamente 0{,}7371.)

Passo 7

Usar a fórmula da Passo 2 com \operatorname{erf}(z)\approx 0{,}7371.
Primeiro calcular a diferença entre superfície e interior:
C_s - C_0 = 2{,}2\% - 0{,}22\% = 1{,}98\%\\ .
Multiplicar pelo erro:
\bigl(C_s - C_0\bigr)\operatorname{erf}(z) \approx 1{,}98\%\times 0{,}7371 \approx 1{,}4593\%\\ .
Finalmente:
C(x,t) = C_s - \bigl(C_s - C_0\bigr)\operatorname{erf}(z) \approx 2{,}2\% - 1{,}4593\% = 0{,}7407\%\\ .

Passo 8

Interpretação curta e motivação: o resultado significa que, após 10 horas com superfície em 2{,}2\%\\ \mathrm{C}, a 1{,}2\\ \mathrm{mm} de profundidade a concentração aumentou de 0{,}22\% para cerca de 0{,}74\%. Dá pra ver que a difusão é relativamente lenta (por isso o aumento não chega perto de 2{,}2\% tão fundo), o que é consistente com o pequeno valor de D. Força aí nos estudos — esse tipo de conta é padrão em problemas de cementação: montar a fórmula certa, cuidar das unidades e avaliar a função erro com cuidado.

Resposta

0{,}7407\%\\ \mathrm{C}

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