Uma unidade industrial de verniz tem que entregar 1000 Kg de uma solução de nitrocelulose aquosa a 8 \% em massa. A unidade possui uma grande quantidade de solução aquosa com fração mássica de 5,5 \%, que será concentrada por evaporação para produção da solução concentrada. Assumir que a evaporação se processa sem arraste de soluto.
Pede-se:
a) A massa de solução a 5,5 \% necessária para produzir 1000 Kg nitrocelulose aquosa a 8% em massa por evaporação.
b) A massa de água evaporada, em toneladas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A massa de solução a 5{,}5\% necessária para produzir 1000 kg de solução a 8\% por evaporação (sem perda de soluto).
  2. A massa de água evaporada expressa em toneladas.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Massa final desejada: } m_f = 1000\\ \text{kg} \\\ &\text{Fração mássica de soluto na solução final: } w_f = 8\% = 0{,}08 \\\ &\text{Fração mássica de soluto na solução inicial disponível: } w_i = 5{,}5\% = 0{,}055 \\\ &\text{Evaporação sem arraste de soluto} \Rightarrow \text{o soluto total se conserva.} \end{aligned}çãáçãçãáçãíçã

Passo 2

Conceito-chave (explicado com calma): fração mássica e conservação do soluto.
  • A fração mássica w significa a massa do soluto dividida pela massa total da solução. Ex.: w=0{,}08 quer dizer que em cada 1 kg da solução há 0{,}08 kg de soluto (8% da massa).
  • “Sem arraste de soluto” significa que durante a evaporação só sai água; a massa do soluto antes ( m_i\cdot w_i) é igual à massa do soluto depois ( m_f\cdot w_f). Isso é uma equação de balanço de massa para o soluto.
Vamos definir variáveis:
\begin{aligned} & m_i = \text{massa da solução inicial a }5{,}5\% \\ (\text{kg}) \\\ & m_f = \text{massa da solução final a }8\% = 1000\\ \text{kg} \\\ & w_i = 0{,}055,\quad w_f = 0{,}08 \end{aligned}çãçã

Passo 3

Escrever o balanço de massa do soluto (igualdade das massas de soluto antes e depois):
m_i \cdot w_i = m_f \cdot w_f.
Aqui cada termo significa:
  • m_i \cdot w_i: massa de soluto presente na solução inicial (kg).
  • m_f \cdot w_f: massa de soluto desejada na solução final (kg).
    Como o soluto não se perde, esses dois são iguais.

Passo 4

Isolar m_i na equação:
m_i = \frac{m_f \cdot w_f}{w_i}.
Substituímos m_f=1000, w_f=0{,}08 e w_i=0{,}055. Para evitar trabalhar com muitos decimais, converto as porcentagens em frações racionais:
0{,}08 = \frac{2}{25},\qquad 0{,}055 = \frac{11}{200}.
Então
m_i = \frac{1000 \cdot \frac{2}{25}}{\frac{11}{200}}.

Passo 5

Calcular m_i passo a passo:
1000\cdot\frac{2}{25} = 1000\cdot\frac{2}{25} = 40\cdot 2 = 80.
Agora dividir por \frac{11}{200} é multiplicar por \frac{200}{11}:
m_i = 80\cdot\frac{200}{11} = \frac{16000}{11}\\ \text{kg}.
Converter em forma decimal (usar vírgula como separador):
\frac{16000}{11}\\ \text{kg} \approx 1454,545\\ \text{kg}.
Interpretação rápida: precisamos de mais massa inicial porque a concentração inicial é menor ( 5{,}5\%) que a final ( 8\%).

Passo 6

Agora a massa de água evaporada m_{evap} é a diferença entre a massa inicial e a massa final:
m_{evap} = m_i - m_f = \frac{16000}{11} - 1000 = \frac{16000-11000}{11} = \frac{5000}{11}\\ \text{kg}.
Em decimal:
\frac{5000}{11}\\ \text{kg} \approx 454,545\\ \text{kg}.
Em toneladas (1 tonelada = 1000 kg):
m_{evap} = \frac{5000}{11}\\ \text{kg}\cdot\frac{1\\ \text{t}}{1000\\ \text{kg}} = \frac{5}{11}\\ \text{t} \approx 0,454545\\ \text{t}.

Passo 7

Checagem de coerência e dica para prova:
  • O cálculo usou apenas conservação de massa do soluto; isso é padrão em problemas de concentração por evaporação.
  • Sempre converta percentagens para frações decimais ou racionais antes de manipular; às vezes usar frações (como fiz aqui) evita erros de arredondamento.
  • No gabarito, apresentar tanto a forma exata em fração quanto a aproximação com 3 casas decimais costuma ser bem aceito.

Resposta

\displaystyle m_i = \frac{16000}{11}\\ \text{kg} \approx 1454,545\\ \text{kg}
\displaystyle m_{evap} = \frac{5000}{11}\\ \text{kg} = \frac{5}{11}\\ \text{t} \approx 0,454545\\ \text{t}

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