Um processo estocástico X(t), W W S, com função de autocorrelação dada por R_{X}(\tau)=e^{-b|\tau|}, é a entrada de de um filtro R C com resposta ao impulso h(t)=\left\{\begin{array}{l}(1 / R C) e^{-t / R C}, \text { se } t \geq 0 ; \\\\ 0, \text { caso contrário. }\end{array}\right.
Assumindo que b>0 e b \neq 1 / R C, encontre S_{Y}(f) e R_{Y}(\tau). Qual é a potência média da saída Y(t) do processo estocástico?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Processo de entrada: X(t)\) é WSS com função de autocorrelação
\[R_X(\tau)=e^{-b|\tau|},
A densidade espectral de potência da saída S_Y(f)\].
2. A função de autocorrelação da saída \(R_Y(\tau).
3. A potência média da saída Y(t) (isto é, R_Y(0) ou equivalently \int S_Y(f)\,df).
As informações relevantes dadas: R_X(\tau)=e^{-b|\tau|} (então a variância do processo de entrada é R_X(0)=1), e a forma explícita de h(t). Não há dados numéricos além de b e RC.]
Passo 2
Transformada (espectral) do processo de entrada: encontrar S_X(f), a potência espectral do X(t).
Explico a fórmula que vou usar: a densidade espectral S_X(f) é a transformada de Fourier da autocorrelação R_X(\tau),
onde \omega é a frequência angular. Passando para frequência em Hz (\omega = 2\pi f), obtemos
S_X(f)=\frac{2b}{b^2+(2\pi f)^2}.
Observação didática curta: essa forma \dfrac{2b}{b^2+\omega^2} é a “lorentziana” clássica; ela é finita em \omega=0 e decai como 1/\omega^2 para altas frequências.
Passo 3
Resposta em frequência do filtro H(f). Vou calcular a transformada de Fourier de h(t).
Para h(t)=a e^{-a t}u(t) com a=1/RC temos
H(f)=\int_{0}^{\infty} a e^{-a t} e^{-j2\pi f t}\,dt = \frac{a}{a + j2\pi f}.
Breve explicação: |H(f)|^2 representa quanto da potência em cada frequência é passada pelo filtro; aqui é um fator de atenuação que decai com a frequência.
Passo 4
Densidade espectral de potência da saída S_Y(f). Para um sistema LTI com entrada WSS vale
Essa expressão é válida para b\neq 1/RC (condição do enunciado) e dá uma combinação linear de dois decaimentos exponenciais.
Passo 8
Potência média da saída: P_Y=R_Y(0).
Avalio R_Y(\tau) em \tau=0:
R_Y(0)=\frac{a}{b^2-a^2}\bigl(b-a\bigr).
Como b^2-a^2=(b-a)(b+a) (e b\neq a), cancelo b-a e obtenho
R_Y(0)=\frac{a}{b+a}.
Substituindo a=1/RC,
R_Y(0)=\frac{1/RC}{b+1/RC}=\frac{1}{1+b\,RC}.
Interpretação curta: a potência de saída é menor que a potência de entrada (R_X(0)=1), e depende do produto b\,RC que mede a relação entre a largura do espectro de entrada e a constante de tempo do filtro.
Passo 9
Resumo do que foi encontrado (vou deixar os detalhes algébricos acima para você poder reproduzir na prova). Se quiser, posso escrever as formas finais com a=1/RC ou explicitando RC — já deixei as duas formas. Vai dar certo — respira, revise essas manipulações de transformada e frações parciais e pratica mais um exemplo parecido que eu te ajudo.