Um processo estocástico X(t), W W S, com função de autocorrelação dada por R_{X}(\tau)=e^{-b|\tau|}, é a entrada de de um filtro R C com resposta ao impulso
h(t)=\left\{\begin{array}{l}(1 / R C) e^{-t / R C}, \text { se } t \geq 0 ; \\\\ 0, \text { caso contrário. }\end{array}\right.á
Assumindo que b>0 e b \neq 1 / R C, encontre S_{Y}(f) e R_{Y}(\tau). Qual é a potência média da saída Y(t) do processo estocástico?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Processo de entrada: X(t)\) é WSS com função de autocorrelação \[R_X(\tau)=e^{-b|\tau|},
com b>0 e b\neq 1/RC.
  • Filtro RC com resposta ao impulso
h(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{RC}e^{-t/RC}, & t\ge 0,\\[6pt] 0, & t<0. \end{cases}
O enunciado pede:
  1. A densidade espectral de potência da saída S_Y(f)\]. 2. A função de autocorrelação da saída \(R_Y(\tau).
    3. A potência média da saída Y(t) (isto é, R_Y(0) ou equivalently \int S_Y(f)\,df).
As informações relevantes dadas: R_X(\tau)=e^{-b|\tau|} (então a variância do processo de entrada é R_X(0)=1), e a forma explícita de h(t). Não há dados numéricos além de b e RC.]

Passo 2

Transformada (espectral) do processo de entrada: encontrar S_X(f), a potência espectral do X(t).
Explico a fórmula que vou usar: a densidade espectral S_X(f) é a transformada de Fourier da autocorrelação R_X(\tau),
S_X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau)\,e^{-j2\pi f\tau}\,d\tau.
Há uma tabela padrão: para R(\tau)=e^{-a|\tau|} com a>0 a transformada é
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|\tau|} e^{-j\omega\tau}\,d\tau = \frac{2a}{a^2+\omega^2},
onde \omega é a frequência angular. Passando para frequência em Hz ( \omega = 2\pi f), obtemos
S_X(f)=\frac{2b}{b^2+(2\pi f)^2}.
Observação didática curta: essa forma \dfrac{2b}{b^2+\omega^2} é a “lorentziana” clássica; ela é finita em \omega=0 e decai como 1/\omega^2 para altas frequências.

Passo 3

Resposta em frequência do filtro H(f). Vou calcular a transformada de Fourier de h(t).
Para h(t)=a e^{-a t}u(t) com a=1/RC temos
H(f)=\int_{0}^{\infty} a e^{-a t} e^{-j2\pi f t}\,dt = \frac{a}{a + j2\pi f}.
Substituindo a=\dfrac{1}{RC},
H(f)=\frac{1/RC}{1/RC + j2\pi f}=\frac{1}{1 + j2\pi f\,RC}.
Também preciso de |H(f)|^2 para a saída:
|H(f)|^2=\frac{1}{1+(2\pi f\,RC)^2}.
Breve explicação: |H(f)|^2 representa quanto da potência em cada frequência é passada pelo filtro; aqui é um fator de atenuação que decai com a frequência.

Passo 4

Densidade espectral de potência da saída S_Y(f). Para um sistema LTI com entrada WSS vale
S_Y(f)=|H(f)|^2 S_X(f).
Substituindo as expressões obtidas:
S_Y(f)=\frac{2b}{b^2+(2\pi f)^2}\cdot\frac{1}{1+(2\pi f\,RC)^2}.
Isso é uma expressão correta e final para S_Y(f). Posso escrevê-la também como
S_Y(f)=\frac{2b}{\bigl(b^2+(2\pi f)^2\bigr)\bigl(1+(2\pi f\,RC)^2\bigr)}.

Passo 5

Preparação para obter R_Y(\tau): trabalhar em frequência angular \omega=2\pi f facilita a inversa.
Defino a=\dfrac{1}{RC} (positivo). Em \omega a densidade espectral é
\tilde S_Y(\omega)=S_Y\!\left(f=\frac{\omega}{2\pi}\right) = \frac{2b}{b^2+\omega^2}\cdot\frac{a^2}{a^2+\omega^2} = \frac{2b\,a^2}{(a^2+\omega^2)(b^2+\omega^2)}.
Aqui usei |H(j\omega)|^2 = \dfrac{a^2}{a^2+\omega^2} (porque a=1/RC). A autocorrelação R_Y(\tau) é a transformada inversa:
R_Y(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde S_Y(\omega)\,e^{j\omega\tau}\,d\omega.
Para resolver essa integral uso frações parciais na variável \omega^2 e um par de pares transformadas conhecidas:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{j\omega\tau}}{\omega^2+\alpha^2}\,d\omega = \frac{\pi}{\alpha}e^{-\alpha|\tau|},\qquad \alpha>0.

Passo 6

Fração parcial: escrever
\frac{2b\,a^2}{(a^2+\omega^2)(b^2+\omega^2)}=\frac{C}{a^2+\omega^2}+\frac{D}{b^2+\omega^2}
e determinar C e D.
Igualando numeradores:
C(\omega^2+b^2)+D(\omega^2+a^2)=2b\,a^2.
Coeficiente de \omega^2: C+D=0. Constante: C b^2 + D a^2 = 2b a^2.
Como D=-C, obtemos
C(b^2-a^2)=2b a^2 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{2b a^2}{b^2-a^2},
D=-\frac{2b a^2}{b^2-a^2}.
(Validade: dado b\neq a no enunciado, a divisão é legal.)

Passo 7

Agora aplico a inversa usando a integral conhecida. Primeiro escrevo R_Y(\tau) em termos de \omega:
R_Y(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\!\left(\frac{C}{a^2+\omega^2}+\frac{D}{b^2+\omega^2}\right)e^{j\omega\tau}\,d\omega.
Aplicando a fórmula de transformada inversa para cada termo:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{j\omega\tau}}{\omega^2+\alpha^2}\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{\alpha}e^{-\alpha|\tau|}=\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha|\tau|}.
Logo
R_Y(\tau)=\frac{C}{2a}e^{-a|\tau|}+\frac{D}{2b}e^{-b|\tau|}.
Substituindo C e D:
R_Y(\tau)=\frac{1}{2}\left(\frac{2b a^2}{b^2-a^2}\cdot\frac{1}{a}e^{-a|\tau|} - \frac{2b a^2}{b^2-a^2}\cdot\frac{1}{b}e^{-b|\tau|}\right).
Simplificando:
R_Y(\tau)=\frac{a}{b^2-a^2}\bigl(b\,e^{-a|\tau|}-a\,e^{-b|\tau|}\bigr).
Recordando a=1/RC, uma forma explícita com RC é
R_Y(\tau)=\frac{(1/RC)}{b^2-(1/RC)^2}\left(b\,e^{-| \tau |/RC}-\frac{1}{RC}\,e^{-b|\tau|}\right).
Essa expressão é válida para b\neq 1/RC (condição do enunciado) e dá uma combinação linear de dois decaimentos exponenciais.

Passo 8

Potência média da saída: P_Y=R_Y(0).
Avalio R_Y(\tau) em \tau=0:
R_Y(0)=\frac{a}{b^2-a^2}\bigl(b-a\bigr).
Como b^2-a^2=(b-a)(b+a) (e b\neq a), cancelo b-a e obtenho
R_Y(0)=\frac{a}{b+a}.
Substituindo a=1/RC,
R_Y(0)=\frac{1/RC}{b+1/RC}=\frac{1}{1+b\,RC}.
Interpretação curta: a potência de saída é menor que a potência de entrada ( R_X(0)=1), e depende do produto b\,RC que mede a relação entre a largura do espectro de entrada e a constante de tempo do filtro.

Passo 9

Resumo do que foi encontrado (vou deixar os detalhes algébricos acima para você poder reproduzir na prova). Se quiser, posso escrever as formas finais com a=1/RC ou explicitando RC — já deixei as duas formas. Vai dar certo — respira, revise essas manipulações de transformada e frações parciais e pratica mais um exemplo parecido que eu te ajudo.

Resposta

S_Y(f)=\dfrac{2b}{\bigl(b^2+(2\pi f)^2\bigr)\bigl(1+(2\pi f\,RC)^2\bigr)}
R_Y(\tau)=\dfrac{(1/RC)}{\,b^2-(1/RC)^2\,}\!\left(b\,e^{-| \tau |/RC}-\dfrac{1}{RC}\,e^{-b|\tau|}\right)
\text{Potência média da saída }=R_Y(0)=\dfrac{1}{1+b\,RC}êéí

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