Seja \{X(t), t \in R\} um processo estocástico a tempo contínuo, definido como X(t)=A \cdot \cos (2 \cdot t+\Phi),
em que A \sim U[0,1] e \Phi \sim U[0,2 \pi] são duas variáveis aleatórias independentes.
a) Encontre a função média de \mu_{X}(t);
b) Encontre a função de autocorrelação R_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right);
c) O processo X(t) é W W S ? Justifique!
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
Processo: X(t)=A\cdot\cos\bigl(2t+\Phi\bigr), para todo t\in\mathbb{R}.
Distribuições e independência (essas informações vieram do enunciado):
A\sim U[0,1].
\Phi\sim U[0,2\pi].
A e \Phi são independentes.
O enunciado pede três coisas:
(a) encontrar a função média \mu_X(t)=\mathbb{E}[X(t)];
(b) encontrar a função de autocorrelação R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}\bigl[X(t_1)X(t_2)\bigr];
(c) dizer se o processo é WSS (estacionário em segunda ordem) e justificar.
Passo 2
Relembrando definições e estratégias úteis (aulas rápidas):
A função média é \mu_X(t)=\mathbb{E}[X(t)].
A autocorrelação é R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}\bigl[X(t_1)X(t_2)\bigr].
Se A e \Phi são independentes, então \mathbb{E}\bigl[f(A)g(\Phi)\bigr]=\mathbb{E}[f(A)]\mathbb{E}[g(\Phi)] sempre que as esperanças existirem.
Para \Phi\sim U[0,2\pi] vale a propriedade útil: a média de \cos(k\Phi+\delta) sobre \Phi é zero para qualquer inteiro k\neq0 e qualquer \delta. Em integral:\mathbb{E}_\Phi\bigl[\cos(k\Phi+\delta)\bigr]=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(k\varphi+\delta)\,d\varphi=0.
Também usaremos a identidade trigonométrica produto-para-soma:\cos u\cos v = \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(u-v)+\cos(u+v)\bigr).
Passo 3
Calcular \mathbb{E}[A] e \mathbb{E}[A^2] — são passos simples de integração para A\sim U[0,1].
Por definição, para A\sim U[0,1]:\mathbb{E}[A]=\int_{0}^{1} a\cdot 1\,da = \left.\tfrac{a^2}{2}\right|_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
Comentário didático: mesmo que A não fosse centrado, a aleatoriedade uniforme de \Phi “varre” a fase e anula a média do cosseno; por isso a média do processo é zero para todo t.
Passo 5
Calcular a autocorrelação R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}\bigl[X(t_1)X(t_2)\bigr].
Verificar a condição WSS (estacionariedade em segunda ordem) com base nas definições:
Condição 1 (média constante): já mostramos que \mu_X(t)=0 para todo t, logo a média é constante no tempo.
Condição 2 (autocorrelação depende apenas do deslocamento): mostramos queR_X(t_1,t_2)=\tfrac{1}{6}\cos\bigl(2(t_1-t_2)\bigr),ou seja, R_X depende unicamente de \tau=t_1-t_2, já que pode ser escrita como R_X(\tau)=\tfrac{1}{6}\cos(2\tau).
Além disso, o segundo momento é finito, porque R_X(t,t)=\tfrac{1}{6}\cos(0)=\tfrac{1}{6}<\infty.
Portanto ambas as condições de WSS estão satisfeitas, e o processo é WSS.