Seja \{X(t), t \in R\} um processo estocástico a tempo contínuo, definido como X(t)=A \cdot \cos (2 \cdot t+\Phi),
em que A \sim U[0,1] e \Phi \sim U[0,2 \pi] são duas variáveis aleatórias independentes.
a) Encontre a função média de \mu_{X}(t);
b) Encontre a função de autocorrelação R_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right);
c) O processo X(t) é W W S ? Justifique!

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
  • Processo: X(t)=A\cdot\cos\bigl(2t+\Phi\bigr), para todo t\in\mathbb{R}.
  • Distribuições e independência (essas informações vieram do enunciado):
    • A\sim U[0,1].
    • \Phi\sim U[0,2\pi].
    • A e \Phi são independentes.
O enunciado pede três coisas:
(a) encontrar a função média \mu_X(t)=\mathbb{E}[X(t)];
(b) encontrar a função de autocorrelação R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}\bigl[X(t_1)X(t_2)\bigr];
(c) dizer se o processo é WSS (estacionário em segunda ordem) e justificar.

Passo 2

Relembrando definições e estratégias úteis (aulas rápidas):
  • A função média é \mu_X(t)=\mathbb{E}[X(t)].
  • A autocorrelação é R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}\bigl[X(t_1)X(t_2)\bigr].
  • Se A e \Phi são independentes, então \mathbb{E}\bigl[f(A)g(\Phi)\bigr]=\mathbb{E}[f(A)]\mathbb{E}[g(\Phi)] sempre que as esperanças existirem.
  • Para \Phi\sim U[0,2\pi] vale a propriedade útil: a média de \cos(k\Phi+\delta) sobre \Phi é zero para qualquer inteiro k\neq0 e qualquer \delta. Em integral: \mathbb{E}_\Phi\bigl[\cos(k\Phi+\delta)\bigr]=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(k\varphi+\delta)\,d\varphi=0.
  • Também usaremos a identidade trigonométrica produto-para-soma: \cos u\cos v = \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(u-v)+\cos(u+v)\bigr).

Passo 3

Calcular \mathbb{E}[A] e \mathbb{E}[A^2] — são passos simples de integração para A\sim U[0,1].
  • Por definição, para A\sim U[0,1]: \mathbb{E}[A]=\int_{0}^{1} a\cdot 1\,da = \left.\tfrac{a^2}{2}\right|_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
  • E \mathbb{E}[A^2]=\int_{0}^{1} a^2\cdot 1\,da = \left.\tfrac{a^3}{3}\right|_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Calcular a função média \mu_X(t)=\mathbb{E}[X(t)].
Usando independência entre A e \Phi,
\mathbb{E}[X(t)]=\mathbb{E}\bigl[A\cos(2t+\Phi)\bigr]=\mathbb{E}[A]\;\mathbb{E}\bigl[\cos(2t+\Phi)\bigr].
Agora, como \Phi\sim U[0,2\pi],
\mathbb{E}\bigl[\cos(2t+\Phi)\bigr]=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(2t+\varphi)\,d\varphi.
Fazer a integral: \cos(2t+\varphi) vista como função de \varphi tem média zero em um período 2\pi, então
\mathbb{E}\bigl[\cos(2t+\Phi)\bigr]=0.
Portanto
\mu_X(t)=\mathbb{E}[X(t)]=\mathbb{E}[A]\cdot 0 = 0.
Comentário didático: mesmo que A não fosse centrado, a aleatoriedade uniforme de \Phi “varre” a fase e anula a média do cosseno; por isso a média do processo é zero para todo t.

Passo 5

Calcular a autocorrelação R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}\bigl[X(t_1)X(t_2)\bigr].
Escrevendo
X(t_1)X(t_2)=A^2\cos(2t_1+\Phi)\cos(2t_2+\Phi).
Pela independência,
R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}[A^2]\;\mathbb{E}\bigl[\cos(2t_1+\Phi)\cos(2t_2+\Phi)\bigr].
Já calculamos \mathbb{E}[A^2]=\tfrac{1}{3}. Agora calcula-se a expectativa em \Phi.
Usando a identidade produto-para-soma com u=2t_1+\Phi e v=2t_2+\Phi,
\cos(2t_1+\Phi)\cos(2t_2+\Phi) = \tfrac{1}{2}\bigl(\cos\bigl(2t_1-2t_2\bigr)+\cos\bigl(2( \Phi + t_1 + t_2)\bigr)\bigr).
Tomando esperança em \Phi:
\mathbb{E}_\Phi\bigl[\cos(2t_1+\Phi)\cos(2t_2+\Phi)\bigr] = \tfrac{1}{2}\cos\bigl(2(t_1-t_2)\bigr) + \tfrac{1}{2}\mathbb{E}_\Phi\bigl[\cos\bigl(2\Phi+2(t_1+t_2)\bigr)\bigr].
A segunda esperança é zero porque \Phi é uniforme em [0,2\pi] e \cos(2\Phi+\text{const}) tem média zero:
\mathbb{E}_\Phi\bigl[\cos(2\Phi+2(t_1+t_2))\bigr]=0.
Assim sobra
\mathbb{E}_\Phi\bigl[\cos(2t_1+\Phi)\cos(2t_2+\Phi)\bigr]=\tfrac{1}{2}\cos\bigl(2(t_1-t_2)\bigr).
Multiplicando por \mathbb{E}[A^2]=\tfrac{1}{3}, obtemos
R_X(t_1,t_2)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}\cos\bigl(2(t_1-t_2)\bigr)=\tfrac{1}{6}\cos\bigl(2(t_1-t_2)\bigr).

Passo 6

Verificar a condição WSS (estacionariedade em segunda ordem) com base nas definições:
  • Condição 1 (média constante): já mostramos que \mu_X(t)=0 para todo t, logo a média é constante no tempo.
  • Condição 2 (autocorrelação depende apenas do deslocamento): mostramos que R_X(t_1,t_2)=\tfrac{1}{6}\cos\bigl(2(t_1-t_2)\bigr),ou seja, R_X depende unicamente de \tau=t_1-t_2, já que pode ser escrita como R_X(\tau)=\tfrac{1}{6}\cos(2\tau).
  • Além disso, o segundo momento é finito, porque R_X(t,t)=\tfrac{1}{6}\cos(0)=\tfrac{1}{6}<\infty.
Portanto ambas as condições de WSS estão satisfeitas, e o processo é WSS.

Resposta

(a) \mu_X(t)=0
(b) R_X(t_1,t_2)=\dfrac{1}{6}\cos\bigl(2(t_1-t_2)\bigr)
(c) Sim. O processo é WSS, pois \mu_X(t) é constante e R_X(t_1,t_2) depende apenas de t_1-t_2.

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