Um processo estocástico X(t), W W S, tem função de autocorrelação dada por R_{X}(\tau)= A e^{-b|\tau|}, com b>0. Derive a densidade espectral de potência (P S D) de X(t) e calcule E\left[X(t)^{2}\right].

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação dada:
    • O processo é estacionário em sentido amplo (WSS).
    • A função de autocorrelação é R_{X}(\tau)=A e^{-b|\tau|} com b>0 e A constante.
  • Perguntas:
    1. Calcular a densidade espectral de potência (PSD) S_{X}(\omega) de X(t).
    2. Calcular E\left[X(t)^{2}\right].

Passo 2

Conceito-chave que vou usar (explicado de forma simples):
  • Para um processo WSS, a densidade espectral de potência S_{X}(\omega) é a transformada de Fourier da função de autocorrelação R_{X}(\tau). Em fórmulas:
S_{X}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} R_{X}(\tau)\,e^{-j\omega\tau}\,d\tau.
Aqui \omega é a frequência angular (rad/s), j é a unidade imaginária, e a integral é sobre o deslocamento temporal \tau.
Observação útil sobre R_{X}(\tau):
  • A função R_{X}(\tau)=A e^{-b|\tau|} é real e par (simétrica): R_{X}(-\tau)=R_{X}(\tau). Para integrais envolvendo e^{-j\omega\tau} isso permite transformar a integral em uma integral com cosseno:
\int_{-\infty}^{\infty} R_{X}(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau =2\int_{0}^{\infty} R_{X}(\tau)\cos(\omega\tau)\,d\tau.

Passo 3

Aplicando a definição da PSD ao R_X(\tau) dado:
S_{X}(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty} A e^{-b|\tau|} e^{-j\omega\tau}\,d\tau =2A\int_{0}^{\infty} e^{-b\tau}\cos(\omega\tau)\,d\tau.
Agora precisamos avaliar a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-b\tau}\cos(\omega\tau)\,d\tau com b>0.

Passo 4

Cálculo da integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-b\tau}\cos(\omega\tau)\,d\tau.
Uma forma rápida e elegante é usar a transformada exponencial complexa. Para b>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-(b-j\omega)\tau}\,d\tau=\frac{1}{b-j\omega}.
Tirando a parte real dessa expressão obtemos a integral com cosseno, pois \cos(\omega\tau)=\Re\{e^{j\omega\tau}\}. Assim
\int_{0}^{\infty} e^{-b\tau}\cos(\omega\tau)\,d\tau =\Re\!\left(\frac{1}{b-j\omega}\right) =\frac{b}{b^{2}+\omega^{2}}.
(Se precisar: \Re\!\left(\dfrac{1}{b-j\omega}\right)=\dfrac{b}{b^{2}+\omega^{2}}.)

Passo 5

Voltando para S_{X}(\omega):
S_{X}(\omega)=2A\cdot\frac{b}{b^{2}+\omega^{2}}=\frac{2Ab}{b^{2}+\omega^{2}}.
Comentários didáticos e intuitivos:
  • Essa forma é a famosa forma de Lorentziano (ou função de Cauchy) no domínio de frequência: pico em \omega=0 e queda proporcional a 1/\omega^{2} para |\omega| grandes.
  • S_X(\omega) é real e par (isto é, S_X(-\omega)=S_X(\omega)) e não-negativa, como esperado para uma PSD.

Passo 6

Agora calculamos E\left[X(t)^{2}\right].
Método direto (mais simples): por definição da autocorrelação,
E\left[X(t)^{2}\right]=R_{X}(0).
Substituindo \tau=0 na expressão dada:
R_{X}(0)=A e^{-b\cdot 0}=A.
Logo E\left[X(t)^{2}\right]=A.
Como verificação (útil para prova): usar a relação energia–espectro (Parseval para processos estacionários)
E\left[X(t)^{2}\right]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} S_{X}(\omega)\,d\omega.
Substituindo S_X(\omega)=\dfrac{2Ab}{b^{2}+\omega^{2}}:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2Ab}{b^{2}+\omega^{2}}\,d\omega =\frac{Ab}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{b^{2}+\omega^{2}}\,d\omega.
Avalia-se \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{b^{2}+\omega^{2}}\,d\omega=\frac{\pi}{b} (pois a primitiva é \frac{1}{b}\arctan(\omega/b) e os limites \pm\infty dão \pi/b). Portanto o resultado é A, consistente com R_X(0).

Passo 7

Resumo final do que foi obtido e pequenas dicas para a prova:
  • A técnica padrão é: usar que PSD = transformada de Fourier de R_X(\tau); aproveitar que R_X é par para reduzir à integral com cosseno; avaliar a integral conhecida \int_{0}^{\infty} e^{-a t}\cos(bt)dt = a/(a^{2}+b^{2}).
  • Para lembrar rápido: o impulso exponencial em autocorrelação vira uma forma Lorentziana no espectro.
  • Para conferir, sempre calcule R_X(0) e, se quiser, verifique integrando S_X (Parseval).

Resposta

S_{X}(\omega)=\frac{2Ab}{b^{2}+\omega^{2}}
E\left[X(t)^{2}\right]=A

Exercícios relacionados