Um processo estocástico
, tem função de autocorrelação dada por
, com
. Derive a densidade espectral de potência
de
e calcule
.
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede duas coisas.
-
Informação dada:
- O processo é estacionário em sentido amplo (WSS).
- A função de autocorrelação é
com e constante.
-
Perguntas:
- Calcular a densidade espectral de potência (PSD)
de . - Calcular
.
- Calcular a densidade espectral de potência (PSD)
Passo 2
Conceito-chave que vou usar (explicado de forma simples):
- Para um processo WSS, a densidade espectral de potência
é a transformada de Fourier da função de autocorrelação . Em fórmulas:
Aqui
é a frequência angular (rad/s),
é a unidade imaginária, e a integral é sobre o deslocamento temporal
.
Observação útil sobre
:
- A função
é real e par (simétrica): . Para integrais envolvendo isso permite transformar a integral em uma integral com cosseno:
Passo 3
Aplicando a definição da PSD ao
dado:
Agora precisamos avaliar a integral
com
.
Passo 4
Cálculo da integral
.
Uma forma rápida e elegante é usar a transformada exponencial complexa. Para
,
Tirando a parte real dessa expressão obtemos a integral com cosseno, pois
. Assim
(Se precisar:
.)
Passo 5
Voltando para
:
Comentários didáticos e intuitivos:
- Essa forma é a famosa forma de Lorentziano (ou função de Cauchy) no domínio de frequência: pico em
e queda proporcional a para grandes. -
é real e par (isto é, ) e não-negativa, como esperado para uma PSD.
Passo 6
Agora calculamos
.
Método direto (mais simples): por definição da autocorrelação,
Substituindo
na expressão dada:
Logo
.
Como verificação (útil para prova): usar a relação energia–espectro (Parseval para processos estacionários)
Substituindo
:
Avalia-se
(pois a primitiva é
e os limites
dão
). Portanto o resultado é
, consistente com
.
Passo 7
Resumo final do que foi obtido e pequenas dicas para a prova:
- A técnica padrão é: usar que PSD = transformada de Fourier de
; aproveitar que é par para reduzir à integral com cosseno; avaliar a integral conhecida . - Para lembrar rápido: o impulso exponencial em autocorrelação vira uma forma Lorentziana no espectro.
- Para conferir, sempre calcule
e, se quiser, verifique integrando (Parseval).