Um processo mostra que a cauterização de um microchip segue aproximadamente a seguinte relação
d=16,2-16,2 e^-0,021 t t<200
em que d é a profundidade da cauterização em micra [micrômetros ( mu m )] e t é o tempo de cauterização em segundos. Quais são as unidades associadas aos números 16,2 e 0,021 ? Converta essa relação de modo que d seja expresso em polegadas e t em minutos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma equação que relaciona a profundidade da cauterização de um microchip com o tempo que leva para isso acontecer. Nosso objetivo é descobrir quais são as unidades dos números na equação e depois converter essa relação para outras unidades que talvez sejam mais fáceis de entender ou usar no contexto que precisar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
d = 16,2 - 16,2 , e^-0,021 t t < 200
Aqui, representa a profundidade da cauterização em micrômetros ( ), e é o tempo de cauterização em segundos. A equação mostra como varia com .

Passo 3

Agora, vamos identificar os números na equação:
  • 16,2: Aparece duas vezes, uma como um número constante e outra multiplicando o termo exponencial.
  • -0,021: É o expoente na função exponencial.
Queremos saber quais unidades estão associadas a esses números.

Passo 4

Unidade de 16,2

Como está em micrômetros ( ) e a equação está expressando , o número 16,2 na parte constante da equação também deve estar em micrômetros ( ).

Unidade de 0,021

O termo está no expoente da função exponencial. Para que a exponenciação seja matematicalmente válida, o argumento do expoente precisa ser adimensional (sem unidades). Isso significa que multiplicado por em segundos ( ) deve resultar em um número sem unidades.
Portanto, a unidade de é o inverso de segundos ( ).

Passo 5

Agora, vamos converter a equação para que:
  • 1 , mu m = 3,937 times 10^-5 , in esteja em polegadas ( 1 , min = 60 , s )
  • din = 16,2 times 3,937 times 10^-5 - 16,2 times 3,937 times 10^-5 , e^-0,021 times 60 tmin esteja em minutos ( din = 16,2 times 3,937 times 10^-5 - 16,2 times 3,937 times 10^-5 , e^-1,26 tmin )

Conversão de de micrômetros para polegadas

Sabemos que:
Então, para converter micrômetros para polegadas, multiplicamos por .

Conversão de de segundos para minutos

Sabemos que:
Então, para converter segundos para minutos, dividimos por 60.

Ajustando a equação

Vamos substituir e pelas novas unidades:
Simplificando os cálculos:

Resposta

Após as conversões, a relação fica:
din = 16,2 times 3,937 times 10^-5 - 16,2 times 3,937 times 10^-5 , e^-1,26 tmin
onde está em polegadas e em minutos.

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