Um elemento de aquecimento elétrico é encaixado em um cilindro de carbono amorfo ( k=1,6 W / mK ), com diâmetro interno de 1 cm e externo de 2 cm . O lado externo do cilindro de carbono está em contato com ar a 20^circ C e o coeficiente convectivo nesta face é 40 W / m^2 K. Determine o aquecimento elétrico máximo (potência linear em W / m ) que pode ser aplicado se a temperatura máxima permissível do carbono é de 200^circ C. A resistência térmica do elemento de aquecimento pode ser desprezada. ( R: 385,6 W / m )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um elemento de aquecimento elétrico colocado dentro de um cilindro de carbono amorfo. A gente sabe a condutividade térmica do carbono, os diâmetros interno e externo do cilindro, a temperatura do ar ao redor e o coeficiente convectivo. A pergunta é: qual é a potência máxima que podemos aplicar no aquecedor para que a temperatura do carbono não passe de 200°C. Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o calor gerado pelo aquecedor vai se propagar através do carbono por condução e depois ser dissipado para o ar por convecção. A resistência térmica total do sistema vai ser a soma da resistência por condução no carbono e da resistência por convecção no ar.

Passo 3

Vamos calcular a resistência térmica por condução no cilindro de carbono. A fórmula para resistência térmica por condução é:
Rcond = ln(r2 / r1)2 pi k L
Onde:
  • Rcond = ln(0,01 / 0,005)2 pi times 1,6 times 1 = ln(2)3,2 pi approx 0,69310,053 approx 0,069 , K/W/m é o raio interno (0,5 cm ou 0,005 m)
  • é o raio externo (1 cm ou 0,01 m)
  • é a condutividade térmica (1,6 W/mK)
  • é o comprimento, mas como estamos buscando potência linear (por metro), vamos considerar m
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular a resistência térmica por convecção. A fórmula é:
Rconv = 1h times A
Onde:
  • A = 2 pi r2 L é o coeficiente convectivo (40 W/m²K)
  • A = 2 pi times 0,01 times 1 = 0,02 pi , m² é a área de superfície externa do cilindro
A área de superfície externa de um cilindro é dada por:
Rconv = 140 times 0,02 pi = 12,513 approx 0,398 , K/W/m
Considerando m e m:
²
Agora, substituindo na fórmula de resistência por convecção:

Passo 5

A resistência térmica total ( Rtotal = Rcond + Rconv = 0,069 + 0,398 = 0,467 , K/W/m ) é a soma das resistências por condução e convecção:

Passo 6

Sabemos que a diferença de temperatura máxima permitida é:
De
Usando a relação entre potência, diferença de temperatura e resistência térmica:
P = De
Substituindo os valores:
P = 1800,467 approx 385,6 , W/m

Resposta

A potência elétrica máxima que pode ser aplicada é de aproximadamente 385,6 W/m.

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