0 que é o processo de normalização de uma função? Em outras palavras, por que a função de onda \psi(x, t) precisa ser normalizada? Qual o significado disso? Se a função \psi(x, t) não estiver normalizada, ela ainda descreve um fenômeno físico mesmo assim? Dê sua resposta baseando-se em argumentos físicos.

Passo 1

O enunciado pergunta o que significa “normalizar” uma função de onda \psi(x,t) em mecânica quântica, por que precisamos disso, qual é o significado físico de normalização e se podemos usar uma \psi não normalizada para descrever um fenômeno físico. Para responder, vamos recorrer à interpretação probabilística de Born e ao fato de que toda probabilidade total deve ser igual a 1.

Passo 2

A normalização de \psi(x,t) é o procedimento de escolher um fator de escala N tal que a função de onda ajustada
\psi_{\rm norm}(x,t) = N\,\psi(x,t)
satisfaça
\int_{-\infty}^{\infty} \bigl|\psi_{\rm norm}(x,t)\bigr|^2 \,dx = 1.
Esse requisito vem diretamente da regra de Born, que diz que \bigl|\psi(x,t)\bigr|^2\,dx é a probabilidade de encontrar a partícula entre x e x+dx. Somando todas as probabilidades possíveis (integrando de -\infty a +\infty) temos que obter exatamente 1.

Passo 3

O significado físico da normalização é garantir que a soma de todas as probabilidades de localização da partícula dê unidade. Se \psi não fosse normalizada, a “probabilidade total” seria diferente de 1, o que não faz sentido físico: ou sobrar probabilidade (valor >1) ou faltar probabilidade (valor <1). A condição
\int_{-\infty}^{\infty} \bigl|\psi(x,t)\bigr|^2 \,dx = 1
é, portanto, garantia de consistência com quaisquer medições de posição.

Passo 4

Uma \psi(x,t) que ainda não foi normalizada não tem probabilidade total igual a 1, mas pode servir como “forma” da solução. Fisicamente, você ainda capturou a dependência de x e t, mas não pode extrair probabilidades absolutas até aplicar o fator de normalização. Em geral procede-se assim:
  1. Resolve-se a equação de Schrödinger e obtém-se \psi(x,t) “sem se preocupar” com o módulo global.
  2. Calcula-se
A = \int_{-\infty}^{\infty} \bigl|\psi(x,t)\bigr|^2 \,dx.
  1. Define-se a função normalizada
\psi_{\rm norm}(x,t) = \frac{\psi(x,t)}{\sqrt{A}}.
Só então \psi_{\rm norm} está pronta para representar probabilidades. Enquanto isso, \psi não normalizada contém informação qualitativa, mas não quantitativa de probabilidade.

Resposta

A normalização é o ajuste de escala de \psi(x,t) para que
\int_{-\infty}^{\infty} \bigl|\psi(x,t)\bigr|^2\,dx = 1,
o que garante que a soma de todas as probabilidades de encontrar a partícula seja 1. Se \psi não estiver normalizada, ela ainda resolve a equação de Schrödinger e mostra a “forma” do estado quântico, mas não dá probabilidades corretas até receber o fator de normalização adequado.

Exercícios relacionados