Vimos que a dependência temporal da função de onda para um estado estacionário \varphi(t)=e^{-i E t / \hbar} é um número complexo, tendo uma parte real e uma parte imaginária. Em outras palavras, podemos escrever \varphi(t)=a+b i, sendo a=\cos (E t / \hbar) e b=-\operatorname{sen}(E t / \hbar). Como esta função pode ter qualquer significado físico, uma vez que parte dela é imaginaria? Se os equipamentos só acessam propriedades que são descritas por números reais, como resolver essa questão? Jogar a teoria fora é uma opção. Mas antes de fazer isso veja outras opções. Como motivação para não descartar a teoria por causa do elemento imaginário i, lembre-se que você já resolveu várias equações diferenciais nas quais apareciam esse i. Será se nada daquilo tinha significado físico? Como exemplo, você certamente já estudou um método matemático chamado Transformada de Fourier. A essência deste método é a seguinte: imagine um problema difícil de ser resolvido. Como alternativa, dividimos o problema em muitas partes independentes, cujo entendimento é bem simples. Depois de analisadas todas as partes separadamente, juntamos todas elas para recuperar o fenômeno original, mas agora totalmente compreendido. Usamos essa estratégia em muitos cenários da Física. Sabe uma coisa em comum entre este método de Fourier e nosso problema quântico? Ele é descrito no espaço complexo f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t.

Passo 1

O enunciado pergunta como podemos atribuir significado físico à função de onda
\varphi(t)=e^{-iEt/\hbar}
que é, em geral, complexa, com parte real a=\cos(Et/\hbar) e parte imaginária b=-\sin(Et/\hbar), sendo que nossos aparatos só medem grandezas reais.

Passo 2

Lembre que em Mecânica Quântica as quantidades físicas observáveis não são as amplitudes \varphi em si, mas funções delas que sempre retornam números reais. O principal exemplo é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula, que é
|\varphi(t)|^2 = \varphi^*(t)\,\varphi(t).
Como
\varphi^*(t)=e^{+iEt/\hbar},
temos
|\varphi(t)|^2 =e^{+iEt/\hbar}\,e^{-iEt/\hbar} =1,
que é um número real e positivo. Ou seja, apesar de \varphi ser complexa, |\varphi|^2 é real.

Passo 3

Da mesma forma, qualquer valor médio de um observável representado por um operador hermitiano \hat{A} é
\langle A\rangle = \int \varphi^*(t)\,\hat{A}\,\varphi(t)\,dx,
e graças à propriedade de hermiticidade de \hat{A} esse resultado é sempre real. Assim, toda vez que formos calcular algo que vale fisicamente, o “ i” interno na onda some no processo de formar combinações bilineares.

Passo 4

A comparação com a Transformada de Fourier
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt
mostra que usar exponenciais complexas é apenas um artifício matemático que facilita o cálculo e a decomposição em modos de frequência. No fim, ao recompor a solução ou ao extrair as quantidades físicas (probabilidades, energias, correlações etc.), trabalhamos sempre com combinações que eliminam a parte imaginária não observável diretamente.

Resposta

A parte imaginária de \varphi(t) não é descartada, mas tampouco aparece diretamente em medidas: ela contribui à fase e ao entrelaçamento das amplitudes, enquanto as grandezas físicas que medimos (probabilidades e valores médios) são obtidas por combinações bilineares de \varphi e \varphi^*, garantindo sempre um resultado real.

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