Num processo químico, uma substância se transforma em outra a uma taxa proporcional à quantidade de substância não transformada. Se esta quantidade é 48 ao fim de 1 hora, e 27 ao fim de 3 horas, qual era a quantidade inicial da substância?
Passo 1
O enunciado descreve um processo em que a quantidade remanescente
se transforma a uma taxa proporcional a ela própria. Isso leva à equação diferencial
onde
é a constante de proporcionalidade. Sabemos que
e queremos encontrar
.
Passo 2
Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis ou lembrando a solução padrão, obtemos
Passo 3
Para achar
, usamos os valores dados em
e
. Dividindo
por
vem:
Logo,
Passo 4
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
Passo 5
Por fim, usamos
para obter
:
Resposta
A quantidade inicial da substância era
.