Num processo químico, uma substância se transforma em outra a uma taxa proporcional à quantidade de substância não transformada. Se esta quantidade é 48 ao fim de 1 hora, e 27 ao fim de 3 horas, qual era a quantidade inicial da substância?

Passo 1

O enunciado descreve um processo em que a quantidade remanescente Q(t) se transforma a uma taxa proporcional a ela própria. Isso leva à equação diferencial
\frac{dQ}{dt} = -k\,Q,
onde k>0 é a constante de proporcionalidade. Sabemos que
Q(1)=48,\quad Q(3)=27,
e queremos encontrar Q(0)=Q_{0}.

Passo 2

Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis ou lembrando a solução padrão, obtemos
Q(t) = Q_{0}\,e^{-k\,t}.

Passo 3

Para achar k, usamos os valores dados em t=1 e t=3. Dividindo Q(3) por Q(1) vem:
\frac{Q(3)}{Q(1)} = \frac{Q_{0}e^{-3k}}{Q_{0}e^{-k}} = e^{-2k} \quad\text{e}\quad \frac{27}{48} = \frac{9}{16}.
Logo,
e^{-2k} = \frac{9}{16}.

Passo 4

Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
-2k = \ln\!\bigl(\tfrac{9}{16}\bigr) \quad\implies\quad k = -\tfrac12\ln\!\bigl(\tfrac{9}{16}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).

Passo 5

Por fim, usamos Q(1)=48 para obter Q_{0}:
48 = Q_{0}\,e^{-k} \quad\implies\quad Q_{0} = 48\,e^{k} = 48\cdot \frac{4}{3} = 64.

Resposta

A quantidade inicial da substância era 64.

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