Com o objetivo de fazer uma previdência particular, uma pessoa deposita uma quantia de R$ 100,00 por mês durante 20 anos. (Suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de R 100,00 por mês e que o saldo inicial é zero.)
(a) Supondo que neste período a taxa de juros seja de
ao mês (juros compostos contínuos), qual o valor que esta pessoa teria ao fim deste período?
(b) Se, após o período anterior, esta pessoa quisesse fazer retiradas mensais, qual deveria ser o valor dessas retiradas para que em 20 anos o capital se esgote, considerando que a taxa de juros continua sendo de
ao mês (juros compostos contínuos)?
(a) Supondo que neste período a taxa de juros seja de
(b) Se, após o período anterior, esta pessoa quisesse fazer retiradas mensais, qual deveria ser o valor dessas retiradas para que em 20 anos o capital se esgote, considerando que a taxa de juros continua sendo de
Passo 1
Resumo do enunciado e dados principais. Queremos formar uma previdência particular depositando continuamente
reais por mês, à taxa de juros compostos contínuos
ao mês
, durante
anos, ou seja
meses. No item (a) vamos calcular o valor acumulado ao final de
. No item (b) partiremos desse montante e faremos retiradas contínuas de valor
por mês, mantendo
, de modo que o saldo se esgote exatamente em
.
Passo 2
Fórmula do valor futuro de uma anuidade contínua. Se se faz contribuição contínua à razão
durante
meses a juros contínuos
, o valor acumulado em
é
Passo 3
Aplicando
,
,
:
Como
, temos
Passo 4
Fórmula para retirada contínua. Se o saldo inicial é
e se faz retirada contínua à razão
durante
meses a juros contínuos
, então
de onde
Substituindo
simplifica-se para
Passo 5
Cálculo numérico de
. Com
e
,
Resposta
(a) O valor acumulado ao fim de 20 anos é aproximadamente R$
.
(b) Para esgotar o capital em 20 anos, as retiradas contínuas devem ser de aproximadamente R$ por mês.
(b) Para esgotar o capital em 20 anos, as retiradas contínuas devem ser de aproximadamente R$