Com o objetivo de fazer uma previdência particular, uma pessoa deposita uma quantia de R$ 100,00 por mês durante 20 anos. (Suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de R 100,00 por mês e que o saldo inicial é zero.)
(a) Supondo que neste período a taxa de juros seja de 1 \% ao mês (juros compostos contínuos), qual o valor que esta pessoa teria ao fim deste período?
(b) Se, após o período anterior, esta pessoa quisesse fazer retiradas mensais, qual deveria ser o valor dessas retiradas para que em 20 anos o capital se esgote, considerando que a taxa de juros continua sendo de 1 \% ao mês (juros compostos contínuos)?

Passo 1

Resumo do enunciado e dados principais. Queremos formar uma previdência particular depositando continuamente R=100 reais por mês, à taxa de juros compostos contínuos \delta=1\% ao mês \delta=0,01, durante 20 anos, ou seja T=20\times12=240 meses. No item (a) vamos calcular o valor acumulado ao final de T. No item (b) partiremos desse montante e faremos retiradas contínuas de valor w por mês, mantendo \delta=0,01, de modo que o saldo se esgote exatamente em T.

Passo 2

Fórmula do valor futuro de uma anuidade contínua. Se se faz contribuição contínua à razão R durante T meses a juros contínuos \delta, o valor acumulado em T é
S(T)\;=\;\int_{0}^{T}R\,e^{\delta\,(T-t)}\,dt \;=\;\frac{R}{\delta}\bigl(e^{\delta T}-1\bigr).

Passo 3

Aplicando R=100, \delta=0,01, T=240:
S(240) =\frac{100}{0,01}\bigl(e^{0,01\cdot240}-1\bigr) =10000\bigl(e^{2{,}4}-1\bigr).
Como e^{2{,}4}\approx11{,}023, temos
S(240)\approx10000\times(11{,}023-1)=10000\times10{,}023=100230.

Passo 4

Fórmula para retirada contínua. Se o saldo inicial é S_0 e se faz retirada contínua à razão w durante T meses a juros contínuos \delta, então
S_0 =\int_{0}^{T}w\,e^{\delta\,(T-t)}\,dt =\frac{w}{\delta}\bigl(e^{\delta T}-1\bigr)
de onde
w =\;S_0\;\frac{\delta}{e^{\delta T}-1}.
Substituindo S_0=S(240)=\frac{R}{\delta}(e^{\delta T}-1) simplifica-se para
w =R\;e^{\delta T}.

Passo 5

Cálculo numérico de w. Com R=100 e \delta T=2{,}4,
w =100\,e^{2{,}4} \approx100\times11{,}023 \approx1102{,}30.

Resposta

(a) O valor acumulado ao fim de 20 anos é aproximadamente R$ 100230,00.
(b) Para esgotar o capital em 20 anos, as retiradas contínuas devem ser de aproximadamente R$ 1102,30 por mês.

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