Num processo de separação por gravidade (decantação) é utilizado um recipiente cúbico de
com
de água (
) no qual são jogados mil grãos de mesmo volume (considere um grão como uma esfera de volume
). Existem dois tipos de grão: o primeiro tem densidade
maior que a da água enquanto que, o segundo, tem densidade
menor que a da água e é considerado “ruim”. Calcule a quantidade de grãos ruins existentes na amostra sabendo que houve um acréscimo de
na altura da superfície livre da água.
Passo 1
O enunciado descreve uma decantação num cubo de volume total de
,
que contém inicialmente
,
de água
,kg/
). Jogam-se
grãos esféricos, cada um com volume
,
. Há grãos “bons” (densidade
que afundam e grãos “ruins” (densidade
) que flutuam parcialmente. Observou-se acréscimo de
,m na altura da água. Queremos achar quantos grãos ruins há.
Passo 2
Como o cubo tem volume
,
, o lado vale
logo a área da base é
O aumento de altura
,m deslocou de água o volume
Passo 3
Cada grão tem volume total
,
.
– Grãos densos afundam totalmente, deslocando cada um.
– Grãos leves flutuam: o empuxo equilibra o peso, daí o volume submerso é
– Grãos densos afundam totalmente, deslocando
– Grãos leves flutuam: o empuxo equilibra o peso, daí o volume submerso é
Passo 4
Seja
o número de grãos ruins (flutuantes) e
o número de grãos densos. Temos
e o volume total deslocado é
Igualando a
,
e substituindo
, vem
Passo 5
Resolvendo para
: