Um processo está sob controle estatístico \operatorname{com} \overline{\bar{x}}=39,7 e \bar{R}=2,5 e \mathrm{n}=2. As especificações são 40 \pm 5. A característica da qualidade tem distribuição normal.
a) Estime a capacidade potencial do processo ( C_{p} )
b) Estime a capacidade efetiva ( C_{p k} ).
c) Quais conclusões você consegue tirar a respeito da capacidade deste processo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Dados fornecidos:
    \overline{\bar{x}}=39{,}7 (média das médias),
    \bar{R}=2{,}5 (média das amplitudes),
    n=2 (tamanho de cada subgrupo).
  • Especificações: 40\pm5. Portanto
    \mathrm{USL}=45 e \mathrm{LSL}=35.
  • A característica da qualidade segue distribuição normal.
Perguntas:
a) Estimar a capacidade potencial do processo C_p.
b) Estimar a capacidade efetiva do processo C_{pk}.
c) Tirar conclusões sobre a capacidade do processo (interpretação dos resultados).

Passo 2

Como primeiro passo prático precisamos estimar a variabilidade do processo ( \sigma). Quando se usa cartas \bar{X}\!-\!R com subgrupos de tamanho n, uma estimativa não-viesada de \sigma é dada por
\hat{\sigma}=\frac{\bar{R}}{d_2},
onde d_2 é uma constante tabelada que depende de n. Para n=2 usa-se d_2=1{,}128 (valor padrão da tabela de fatores para amplitude). Aplicando:
\hat{\sigma}=\frac{2{,}5}{1{,}128}.
Calculemos passo a passo:
\hat{\sigma} \approx \frac{2{,}5}{1{,}128}=2{,}2156\ldots
Arredondando para três casas decimais:
\hat{\sigma}\approx 2{,}216.
Observação breve (didática): d_2 é o valor esperado da amplitude para amostras de tamanho n quando a distribuição é normal; dividir \bar{R} por d_2 converte a amplitude média numa estimativa da desviopadrão do processo.

Passo 3

Definição e cálculo de C_p.
  • Conceito: C_p mede a “capacidade potencial” do processo, isto é, compara a largura da especificação com a variação do processo, assumindo que o processo está centrado. A fórmula é
C_p=\frac{\mathrm{USL}-\mathrm{LSL}}{6\hat{\sigma}}.
Aqui \mathrm{USL}-\mathrm{LSL} é a largura total da faixa aceitável e 6\hat{\sigma} é a estimativa do alcance que cobre aproximadamente 99{,}73\% dos valores em uma normal (±3σ).
  • Aplicando aos números:
\mathrm{USL}-\mathrm{LSL}=45-35=10.
6\hat{\sigma}=6\cdot 2{,}216=13{,}296.
C_p=\frac{10}{13{,}296}\approx 0{,}752.
Arredondando: \;C_p\approx 0{,}752.

Passo 4

Definição e cálculo de C_{pk}.
  • Conceito: C_{pk} mede a capacidade efetiva, levando em conta tanto a variabilidade quanto o deslocamento da média em relação ao centro das especificações. A fórmula é
C_{pk}=\min\!\left(\frac{\mathrm{USL}-\mu}{3\hat{\sigma}},\;\frac{\mu-\mathrm{LSL}}{3\hat{\sigma}}\right),
onde \mu é a média do processo (aqui usamos \overline{\bar{x}} como estimativa de \mu).
  • Calculemos as duas distâncias:
\mathrm{USL}-\mu = 45-39{,}7=5{,}3,
\mu-\mathrm{LSL} = 39{,}7-35=4{,}7.
Agora calcule cada razão (com 3\hat{\sigma}=3\cdot 2{,}216=6{,}648 aproximadamente):
\frac{\mathrm{USL}-\mu}{3\hat{\sigma}}=\frac{5{,}3}{6{,}648}\approx 0{,}797,
\frac{\mu-\mathrm{LSL}}{3\hat{\sigma}}=\frac{4{,}7}{6{,}648}\approx 0{,}707.
O C_{pk} é o menor dos dois:
C_{pk}\approx 0{,}707.

Passo 5

Interpretação das medidas e conclusão didática.
  • O que significam os números (regras práticas comuns):
    • C_p e C_{pk}\ge 1{,}33 indicam bom desempenho (processo capaz e com margem).
    • C_p e C_{pk} entre 1{,}0 e 1{,}33 indicam aceitável/marginal.
    • C_p ou C_{pk}<1{,}0 indica que o processo não atende às especificações (muitos itens fora da faixa).
  • No nosso caso:
    • \;C_p\approx 0{,}752<1: mesmo assumindo o processo centrado, a variabilidade é grande demais para caber na faixa de especificação. Ou seja, a largura do processo (6σ) é maior do que a largura das especificações.
    • \;C_{pk}\approx 0{,}707<1: considerando também o deslocamento da média ( \mu=39{,}7 está ligeiramente abaixo do alvo 40), a capacidade efetiva é ainda menor que a potencial. A menor das duas razões veio do lado inferior (distância até a LSL), portanto o processo está deslocado para a esquerda (mais próximo da LSL).
  • Conclusão prática e ações sugeridas (breve):
    • O processo, do jeito que está, não é capaz de atender consistentemente às especificações (alto risco de peças fora de spec).
    • Para melhorar: reduzir a variabilidade (diminuir \hat{\sigma} — por exemplo, ajustar equipamento, padronizar matéria-prima, melhorar procedimentos) e/ou centralizar a média para 40 (corrigir deslocamento) — idealmente fazer ambas.

Resposta

(a) C_p\approx 0{,}752
(b) C_{pk}\approx 0{,}707
(c) O processo não é capaz das especificações ( C_p<1 e C_{pk}<1); tem variabilidade excessiva e está ligeiramente deslocado para baixo (média 39{,}7), logo é necessário reduzir a variabilidade e/ou recentrar a média.

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