Procure a solução do PVI usando uma série de potências; obtenha a relação de recorrência e os coeficientes
e
:
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a solução do problema de valor inicial (PVI) por série de potências, usando a condição em
. As informações dadas são:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
Objetivos concretos: (i) obter a relação de recorrência entre os coeficientes da série; (ii) calcular os coeficientes
.
Passo 2
Como as condições estão em
, é natural desenvolver a solução em série de potências centrada em
. Defino a nova variável de desvio
. Escrevo a série para
em torno de
:
Derivando termo a termo (derivada em relação a
, mas como
temos
):
É útil reindexar
para escrever potências
:
Passo 3
Reescrevo a equação usando
e
. Assim a EDO fica
Substituo as séries de
e
nessa expressão.
Passo 4
Substituindo:
e
A equação
vira
Passo 5
Agora alinhamos potências
. O termo em
vem apenas da primeira soma (pois as outras começam em
). Coeficiente de
:
Passo 6
Para
coletamos o coeficiente de
. A primeira soma dá
a segunda soma (reindexada com
) contribui com
a terceira soma contribui com
. Assim, para todo
tem-se a condição
Isolando
obtemos a relação de recorrência final:
Passo 7
Agora aplico as condições iniciais na expansão em
.
- Em
(ou seja ): . Logo - A derivada em
dá (porque e em sobra ). Assim
Já tínhamos de Passo 5 que
.
Passo 8
Calculamos
e
usando a recorrência. Primeiro tomo
na recorrência:
Substituindo
e
resulta
Agora tomo
:
Substituindo
e
obtemos
Resumo dos coeficientes calculados: