Procure a solução do PVI usando uma série de potências; obtenha a relação de recorrência e os coeficientes a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} :
x y^{\prime \prime}-(x-2) y=0 \quad y(2)=0, y^{\prime}(2)=-1

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a solução do problema de valor inicial (PVI) por série de potências, usando a condição em x=2. As informações dadas são:
  • Equação diferencial: x\,y''-(x-2)\,y=0.
  • Condições iniciais: y(2)=0,\qquad y'(2)=-1.
Objetivos concretos: (i) obter a relação de recorrência entre os coeficientes da série; (ii) calcular os coeficientes a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.

Passo 2

Como as condições estão em x=2, é natural desenvolver a solução em série de potências centrada em x_{0}=2. Defino a nova variável de desvio \,t=x-2. Escrevo a série para y em torno de t=0:
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n}.
Derivando termo a termo (derivada em relação a x, mas como t=x-2 temos dy/dx = dy/dt):
y'(t)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_{n}t^{n-1}, \qquad y''(t)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}t^{n-2}.
É útil reindexar y'' para escrever potências t^{n}:
y''(t)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}t^{n}.

Passo 3

Reescrevo a equação usando x=t+2 e x-2=t. Assim a EDO fica
(t+2)\,y''(t)-t\,y(t)=0.
Substituo as séries de y e y'' nessa expressão.

Passo 4

Substituindo:
(t+2)\,y''(t)=2\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}t^{n} +\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}t^{n+1},
e
t\,y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n+1}.
A equação (t+2)y''-t y=0 vira
2\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}t^{n} +\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}t^{n+1} -\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n+1}=0.

Passo 5

Agora alinhamos potências t^{n}. O termo em t^{0} vem apenas da primeira soma (pois as outras começam em t^{1}). Coeficiente de t^{0}:
2\cdot(0+2)(0+1)a_{2}=4a_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{2}=0.

Passo 6

Para n\ge 1 coletamos o coeficiente de t^{n}. A primeira soma dá
2(n+2)(n+1)a_{n+2};
a segunda soma (reindexada com k=n+1) contribui com
(n+1)n a_{n+1};
a terceira soma contribui com -a_{n-1}. Assim, para todo n\ge 1 tem-se a condição
2(n+2)(n+1)a_{n+2} + n(n+1)a_{n+1} - a_{n-1}=0.
Isolando a_{n+2} obtemos a relação de recorrência final:
a_{n+2}=\dfrac{a_{n-1}-n(n+1)a_{n+1}}{2(n+2)(n+1)},\qquad n\ge 1.

Passo 7

Agora aplico as condições iniciais na expansão em t.
  • Em t=0 (ou seja x=2): y(2)=y(0)=a_{0}=0. Logo \,a_{0}=0.
  • A derivada em t=0 y'(2)=y'(0)=a_{1} (porque y'=\sum_{n\ge1} n a_n t^{n-1} e em t=0 sobra a_1). Assim a_{1}=y'(2)=-1.
Já tínhamos de Passo 5 que a_{2}=0.

Passo 8

Calculamos a_{3} e a_{4} usando a recorrência. Primeiro tomo n=1 na recorrência:
2(3)(2)a_{3} + 1\cdot 2\,a_{2} - a_{0}=0.
Substituindo a_{2}=0 e a_{0}=0 resulta
12 a_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{3}=0.
Agora tomo n=2:
2(4)(3)a_{4} + 2\cdot 3\,a_{3} - a_{1}=0.
Substituindo a_{3}=0 e a_{1}=-1 obtemos
24 a_{4} -(-1)=0 \quad\Rightarrow\quad 24 a_{4}+1=0 \quad\Rightarrow\quad a_{4}=-\frac{1}{24}.
Resumo dos coeficientes calculados:
a_{0}=0,\qquad a_{1}=-1,\qquad a_{2}=0,\qquad a_{3}=0,\qquad a_{4}=-\frac{1}{24}.

Resposta

a_{n+2}=\dfrac{a_{n-1}-n(n+1)a_{n+1}}{2(n+2)(n+1)},\quad n\ge 1
a_{0}=0
a_{1}=-1
a_{2}=0
a_{3}=0
a_{4}=-\dfrac{1}{24}

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