Uma partícula descreve uma trajetória no espaço dada por:
Calcule a curvatura
da trajetória.
Calcule a curvatura
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como a função vetorial
e pede para calcular a curvatura
da trajetória.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
fornece as coordenadas da curva em função de . - A variável independente é
(tempo ou parâmetro da curva). - Objetivo: obter
, a curvatura em função de .
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar seus termos de forma didática.
A curvatura de uma curva espacial parametrizada por
pode ser calculada por
O que significa cada símbolo:
-
é o vetor velocidade (derivada de em relação a ). -
é o vetor aceleração (derivada de em relação a ). -
é o produto vetorial entre e ; o módulo desse vetor é uma medida de quanto muda de direção (quanto a curva “vira”). -
denota a norma (magnitude) do vetor. - O denominador
normaliza pela velocidade elevada ao cubo, garantindo que seja uma medida geométrica independente de como a curva é parametrizada (desde que a parametrização seja regular).
Vou aplicar essa fórmula direto na curva dada.
Passo 3
Calcular
e
passo a passo usando derivadas elemento a elemento.
Derivando cada componente:
Explicação rápida das regras usadas: derivada de
é
, derivada de
é
, derivada de
é
.
Agora derivar
para obter
:
Pois derivada de
é
, de
é
e de
é
.
Passo 4
Calcular o produto vetorial
usando a fórmula componente a componente.
Se
e
, então
Aqui
,
,
; e
,
,
. Substituindo:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Usando a identidade trigonométrica
, a terceira componente vale
.
Portanto
Passo 5
Calcular as normas necessárias.
Norma do produto vetorial:
Usando
obtemos
Norma de
:
Passo 6
Substituir na fórmula da curvatura e simplificar cuidadosamente.
A fórmula dá
Calcular o denominador:
Portanto
Passo 7
Interpretação curta (motivacional): a curvatura é constante ao longo da hélice dada por
. Isso significa que a “curvatura espacial” da linha não muda com
— a hélice tem curvatura uniforme. Se estiver nervoso para a prova: lembrar que para hélices com raio
e subida por passo proporcional (aqui coeficiente do
é
), muitas vezes a curvatura é constante e pode ser obtida pelo mesmo procedimento (derivar, produto vetorial, norma).