Uma partícula descreve uma trajetória no espaço dada por:
r(t)=\langle\cos t, \sin t, t\rangle
Calcule a curvatura k(t) da trajetória.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como a função vetorial
r(t)=\langle \cos t,\; \sin t,\; t\rangle
e pede para calcular a curvatura k(t) da trajetória.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função r(t) fornece as coordenadas (x,y,z) da curva em função de t.
  • A variável independente é t (tempo ou parâmetro da curva).
  • Objetivo: obter k(t), a curvatura em função de t.

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar seus termos de forma didática.
A curvatura de uma curva espacial parametrizada por r(t) pode ser calculada por
k(t)=\frac{\lVert r'(t)\times r''(t)\rVert}{\lVert r'(t)\rVert^{3}}.
O que significa cada símbolo:
  • r'(t) é o vetor velocidade (derivada de r em relação a t).
  • r''(t) é o vetor aceleração (derivada de r' em relação a t).
  • r'(t)\times r''(t) é o produto vetorial entre r' e r''; o módulo desse vetor é uma medida de quanto r' muda de direção (quanto a curva “vira”).
  • \lVert \cdot\rVert denota a norma (magnitude) do vetor.
  • O denominador \lVert r'(t)\rVert^{3} normaliza pela velocidade elevada ao cubo, garantindo que k(t) seja uma medida geométrica independente de como a curva é parametrizada (desde que a parametrização seja regular).
Vou aplicar essa fórmula direto na curva dada.

Passo 3

Calcular r'(t) e r''(t) passo a passo usando derivadas elemento a elemento.
Derivando cada componente:
r(t)=\langle \cos t,\; \sin t,\; t\rangle
r'(t)=\langle -\sin t,\; \cos t,\; 1\rangle
Explicação rápida das regras usadas: derivada de \cos t é -\sin t, derivada de \sin t é \cos t, derivada de t é 1.
Agora derivar r'(t) para obter r''(t):
r''(t)=\langle -\cos t,\; -\sin t,\; 0\rangle
Pois derivada de -\sin t é -\cos t, de \cos t é -\sin t e de 1 é 0.

Passo 4

Calcular o produto vetorial r'(t)\times r''(t) usando a fórmula componente a componente.
Se r'(t)=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e r''(t)=\langle b_1,b_2,b_3\rangle, então
r'\times r''=\langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\rangle.
Aqui a_1=-\sin t, a_2=\cos t, a_3=1; e b_1=-\cos t, b_2=-\sin t, b_3=0. Substituindo:
Primeira componente:
a_2 b_3 - a_3 b_2 = \cos t\cdot 0 - 1\cdot(-\sin t)=\sin t.
Segunda componente:
a_3 b_1 - a_1 b_3 = 1\cdot(-\cos t) - (-\sin t)\cdot 0 = -\cos t.
Terceira componente:
a_1 b_2 - a_2 b_1 = (-\sin t)(- \sin t) - \cos t(-\cos t)=\sin^{2}t+\cos^{2}t.
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, a terceira componente vale 1.
Portanto
r'(t)\times r''(t)=\langle \sin t,\; -\cos t,\; 1\rangle.

Passo 5

Calcular as normas necessárias.
Norma do produto vetorial:
\lVert r'\times r''\rVert=\sqrt{(\sin t)^{2}+(-\cos t)^{2}+1^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+1}.
Usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 obtemos
\lVert r'\times r''\rVert=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Norma de r'(t):
\lVert r'(t)\rVert=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+1} =\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 6

Substituir na fórmula da curvatura e simplificar cuidadosamente.
A fórmula dá
k(t)=\frac{\lVert r'(t)\times r''(t)\rVert}{\lVert r'(t)\rVert^{3}} =\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{3}}.
Calcular o denominador:
(\sqrt{2})^{3}=(\sqrt{2})^{2}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
Portanto
k(t)=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Interpretação curta (motivacional): a curvatura é constante ao longo da hélice dada por r(t). Isso significa que a “curvatura espacial” da linha não muda com t — a hélice tem curvatura uniforme. Se estiver nervoso para a prova: lembrar que para hélices com raio R e subida por passo proporcional (aqui coeficiente do t é 1), muitas vezes a curvatura é constante e pode ser obtida pelo mesmo procedimento (derivar, produto vetorial, norma).

Resposta

k(t)=\dfrac{1}{2}

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