A produção diária (em unidades) de uma fábrica ao longo de 5 dias úteis foi: 80,82,78,80,80 Com base nesses dados, analise as afirmativas:
I. A média da produção diária é 80 unidades.
II. A moda da distribuição é 80 .
III. O desvio padrão é igual a zero, pois a média e os valores são próximos.
IV. A variância é igual a 4.
Assinale a alternativa correta:
a. Apenas I e II estão corretas.
b. Apenas III e IV estão corretas.
c. Apenas I, II e IV estão corretas.
d. Apenas II e III estão corretas.
e. Todas as afirmativas estão corretas.
Passo 1
O enunciado dá as produções diárias (em unidades) ao longo de 5 dias:
80,\;82,\;78,\;80,\;80
E pede para analisar as afirmativas:
I. A média da produção diária é 80 unidades.
II. A moda da distribuição é 80.
III. O desvio padrão é igual a zero, pois a média e os valores são próximos.
IV. A variância é igual a 4.
Vou checar cada uma delas usando os dados fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média aritmética. A média é o valor central obtido somando todos os elementos e dividindo pelo número de elementos. A fórmula da média para n observações x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é a quantidade de dias (aqui n=5) e x_i são as produções diárias. Aplicando aos números:
\sum_{i=1}^{5} x_i = 80+82+78+80+80 = 400,
logo
\bar{x}=\frac{400}{5}=80.
Portanto a média é \bar{x}=80.
Passo 3
Comentário didático sobre média: a média é sensível a extremos (valores muito grandes ou pequenos), mas aqui os valores estão bem próximos, por isso a média coincide com a maioria das observações.
Com isso, a afirmativa I (média 80) é verdadeira.
Passo 4
Agora a moda. A moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra. Contando as ocorrências:
Como 80 é o valor mais frequente, a moda é 80. Logo a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Vamos ao desvio padrão. Primeiro explico o conceito: o desvio padrão mede o espalhamento dos dados em torno da média. Para a população (quando tomamos todos os elementos que interessam, como aqui os 5 dias), o desvio padrão \sigma é
onde \mu é a média populacional (aqui \mu=\bar{x}=80). Importante: o desvio padrão só é igual a zero se todos os valores forem exatamente iguais à média. Como temos valores diferentes de 80, não pode ser zero.
Passo 6
Calculemos os desvios e seus quadrados, usando \mu=80:
Observação didática: às vezes em estatística usa-se a variância amostral (não-viesada) definida por s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2; nesse caso daria
s^2=\frac{8}{4}=2.
Mas nenhuma dessas definições dá 4. Portanto a afirmativa IV (variância igual a 4) é falsa.
Passo 8
Resumo dos resultados:
I é verdadeira (média 80).
II é verdadeira (moda 80).
III é falsa (desvio padrão não é zero, é \sqrt{1,6}\approx1,2649).
IV é falsa (variância populacional é 1,6; variância amostral é 2; nenhuma é 4).