A produção diária (em unidades) de uma fábrica ao longo de 5 dias úteis foi: 80,82,78,80,80 Com base nesses dados, analise as afirmativas:
I. A média da produção diária é 80 unidades.
II. A moda da distribuição é 80 .
III. O desvio padrão é igual a zero, pois a média e os valores são próximos.
IV. A variância é igual a 4.
Assinale a alternativa correta:
a. Apenas I e II estão corretas.
b. Apenas III e IV estão corretas.
c. Apenas I, II e IV estão corretas.
d. Apenas II e III estão corretas.
e. Todas as afirmativas estão corretas.

Passo 1

O enunciado dá as produções diárias (em unidades) ao longo de 5 dias:
80,\;82,\;78,\;80,\;80
E pede para analisar as afirmativas:
I. A média da produção diária é 80 unidades.
II. A moda da distribuição é 80.
III. O desvio padrão é igual a zero, pois a média e os valores são próximos.
IV. A variância é igual a 4.
Vou checar cada uma delas usando os dados fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média aritmética. A média é o valor central obtido somando todos os elementos e dividindo pelo número de elementos. A fórmula da média para n observações x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é a quantidade de dias (aqui n=5) e x_i são as produções diárias. Aplicando aos números:
\sum_{i=1}^{5} x_i = 80+82+78+80+80 = 400,
logo
\bar{x}=\frac{400}{5}=80.
Portanto a média é \bar{x}=80.

Passo 3

Comentário didático sobre média: a média é sensível a extremos (valores muito grandes ou pequenos), mas aqui os valores estão bem próximos, por isso a média coincide com a maioria das observações.
Com isso, a afirmativa I (média 80) é verdadeira.

Passo 4

Agora a moda. A moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra. Contando as ocorrências:
80\\ \text{aparece }3\\ \text{vezes},\qquad 82\\ \text{aparece }1\\ \text{vez},\qquad 78\\ \text{aparece }1\\ \text{vez}.
Como 80 é o valor mais frequente, a moda é 80. Logo a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Vamos ao desvio padrão. Primeiro explico o conceito: o desvio padrão mede o espalhamento dos dados em torno da média. Para a população (quando tomamos todos os elementos que interessam, como aqui os 5 dias), o desvio padrão \sigma é
\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2},
onde \mu é a média populacional (aqui \mu=\bar{x}=80). Importante: o desvio padrão só é igual a zero se todos os valores forem exatamente iguais à média. Como temos valores diferentes de 80, não pode ser zero.

Passo 6

Calculemos os desvios e seus quadrados, usando \mu=80:
\begin{aligned} x_1=80 &\Rightarrow x_1-\mu=0 \quad\Rightarrow (x_1-\mu)^2=0,\\\ x_2=82 &\Rightarrow x_2-\mu=2 \quad\Rightarrow (x_2-\mu)^2=4,\\\ x_3=78 &\Rightarrow x_3-\mu=-2 \quad\Rightarrow (x_3-\mu)^2=4,\\\ x_4=80 &\Rightarrow (x_4-\mu)^2=0,\\\ x_5=80 &\Rightarrow (x_5-\mu)^2=0. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^5 (x_i-\mu)^2 = 0+4+4+0+0 = 8.
O desvio padrão populacional é
\sigma=\sqrt{\frac{8}{5}}=\sqrt{1,6}\approx 1,2649.
Como \sigma\neq 0, a afirmativa III (desvio padrão igual a zero) é falsa.

Passo 7

Agora a variância. A variância populacional \sigma^2 é o quadrado do desvio padrão, ou diretamente a média dos quadrados dos desvios:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2=\frac{8}{5}=1,6.
Observação didática: às vezes em estatística usa-se a variância amostral (não-viesada) definida por s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2; nesse caso daria
s^2=\frac{8}{4}=2.
Mas nenhuma dessas definições dá 4. Portanto a afirmativa IV (variância igual a 4) é falsa.

Passo 8

Resumo dos resultados:
I é verdadeira (média 80).
II é verdadeira (moda 80).
III é falsa (desvio padrão não é zero, é \sqrt{1,6}\approx1,2649).
IV é falsa (variância populacional é 1,6; variância amostral é 2; nenhuma é 4).

Resposta

a.

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