2 A produção de trigo W em um determinado ano depende da temperatura média T, do volume anual das chuvas C e da área plantada A. Estimativas apontam que, no atual nível de produção, \frac{\partial W}{\partial T}=-2, \frac{\partial W}{\partial C}=8 e \frac{\partial W}{\partial A}=12. Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais?

Passo 1

O enunciado dá os valores das derivadas parciais da produção de trigo W em relação às variáveis temperatura média T, volume anual das chuvas C e área plantada A no atual nível de produção:
  • \dfrac{\partial W}{\partial T} = -2
  • \dfrac{\partial W}{\partial C} = 8
  • \dfrac{\partial W}{\partial A} = 12
A pergunta é: qual é o significado do sinal (positivo ou negativo) dessas derivadas parciais?

Passo 2

O que é, formalmente, uma derivada parcial? Para qualquer ponto (T_0,C_0,A_0),
\frac{\partial W}{\partial T}(T_0,C_0,A_0) = \lim_{h\to0}\frac{W(T_0+h,C_0,A_0)-W(T_0,C_0,A_0)}{h}.
Isto significa que a derivada parcial mede a taxa de variação de W quando só a variável indicada (aqui T) muda um pouquinho, enquanto as outras ( C e A) ficam fixas. Em palavras: é o efeito marginal daquela variável sobre W, mantendo as demais constantes (ceteris paribus).

Passo 3

Como usar esse número na prática (aproximação linear para pequenas variações)? Se só T varia e as outras permanecem constantess, para uma pequena variação \Delta T vale aproximadamente
\Delta W \approx \frac{\partial W}{\partial T}\,\Delta T.
O sinal de \dfrac{\partial W}{\partial T} indica sentido dessa variação: se for negativo, um aumento de T reduz W; se for positivo, um aumento de T aumenta W.

Passo 4

Interpretação do valor \dfrac{\partial W}{\partial T} = -2:
  • Significado do sinal: é negativo, portanto um aumento pequeno na temperatura média reduz a produção W (mantidas C e A constantes).
  • Interpretação numérica (marginal): para uma variação pequena \Delta T=1 (uma unidade de temperatura), espera-se \Delta W\approx -2. Para \Delta T=0,5, \Delta W\approx -2\cdot 0,5 = -1.
  • Conclusão: temperatura tem efeito adverso (diminui produção) no ponto considerado.

Passo 5

Interpretação do valor \dfrac{\partial W}{\partial C} = 8:
  • Significado do sinal: positivo, logo um aumento no volume de chuvas aumenta W (ceteris paribus).
  • Interpretação numérica: um aumento de 1 unidade em C aumenta W em aproximadamente 8 unidades; um aumento de 0,1 em C aumenta W em aproximadamente 0,8.
  • Conclusão: chuva tem efeito benéfico sobre a produção no ponto considerado.

Passo 6

Interpretação do valor \dfrac{\partial W}{\partial A} = 12:
  • Significado do sinal: positivo, então aumentar a área plantada eleva W (mantidas T e C constantes).
  • Interpretação numérica: um acréscimo de 1 unidade em A aumenta W em cerca de 12 unidades; para pequenas variações, use a aproximação linear \Delta W\approx 12\,\Delta A.
  • Conclusão: entre as três variáveis, a área plantada tem o maior efeito marginal positivo no ponto atual (em termos do valor absoluto fornecido).

Passo 7

Comentário sobre magnitude, unidades e validade:
  • A magnitude (valor absoluto) indica a sensibilidade: |12|> |8|> |{-2}|, então, no ponto considerado, W é mais sensível a mudanças em A, depois em C, e menos (em módulo) a T.
  • Cada derivada parcial tem unidades “unidades de W por unidade da variável” (por exemplo, se W fosse toneladas, \dfrac{\partial W}{\partial T} seria toneladas/°C). O enunciado não diz unidades, mas a interpretação permanece a mesma.
  • Essas conclusões são locais: valem para pequenas variações ao redor do nível atual. Para variações grandes, a relação pode ser não linear e as derivadas podem mudar.

Passo 8

Resumo didático e encorajador: o sinal negativo de \dfrac{\partial W}{\partial T} indica que aumentar a temperatura reduz a produção (ceteris paribus), enquanto os sinais positivos de \dfrac{\partial W}{\partial C} e \dfrac{\partial W}{\partial A} indicam que aumentar chuva ou área plantada aumenta a produção (ceteris paribus). Use a aproximação \Delta W\approx (\partial W/\partial T)\Delta T+(\partial W/\partial C)\Delta C+(\partial W/\partial A)\Delta A para estimar pequenas mudanças combinadas.

Resposta

\dfrac{\partial W}{\partial T}=-2: o sinal negativo indica que, mantendo C e A constantes, um pequeno aumento de T reduz a produção W (aproximadamente -2 unidades de W por unidade de T).
\dfrac{\partial W}{\partial C}=8: o sinal positivo indica que, mantendo T e A constantes, um pequeno aumento de C aumenta a produção W (aproximadamente +8 unidades de W por unidade de C).
\dfrac{\partial W}{\partial A}=12: o sinal positivo indica que, mantendo T e C constantes, um pequeno aumento de A aumenta a produção W (aproximadamente +12 unidades de W por unidade de A).

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