2 A produção de trigo
em um determinado ano depende da temperatura média
, do volume anual das chuvas
e da área plantada
. Estimativas apontam que, no atual nível de produção,
e
. Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais?
Passo 1
O enunciado dá os valores das derivadas parciais da produção de trigo
em relação às variáveis temperatura média
, volume anual das chuvas
e área plantada
no atual nível de produção:
A pergunta é: qual é o significado do sinal (positivo ou negativo) dessas derivadas parciais?
Passo 2
O que é, formalmente, uma derivada parcial? Para qualquer ponto
,
Isto significa que a derivada parcial mede a taxa de variação de
quando só a variável indicada (aqui
) muda um pouquinho, enquanto as outras (
e
) ficam fixas. Em palavras: é o efeito marginal daquela variável sobre
, mantendo as demais constantes (ceteris paribus).
Passo 3
Como usar esse número na prática (aproximação linear para pequenas variações)? Se só
varia e as outras permanecem constantess, para uma pequena variação
vale aproximadamente
O sinal de
indica sentido dessa variação: se for negativo, um aumento de
reduz
; se for positivo, um aumento de
aumenta
.
Passo 4
Interpretação do valor
:
- Significado do sinal: é negativo, portanto um aumento pequeno na temperatura média reduz a produção
(mantidas e constantes). - Interpretação numérica (marginal): para uma variação pequena
(uma unidade de temperatura), espera-se . Para , . - Conclusão: temperatura tem efeito adverso (diminui produção) no ponto considerado.
Passo 5
Interpretação do valor
:
- Significado do sinal: positivo, logo um aumento no volume de chuvas aumenta
(ceteris paribus). - Interpretação numérica: um aumento de
unidade em aumenta em aproximadamente unidades; um aumento de em aumenta em aproximadamente . - Conclusão: chuva tem efeito benéfico sobre a produção no ponto considerado.
Passo 6
Interpretação do valor
:
- Significado do sinal: positivo, então aumentar a área plantada eleva
(mantidas e constantes). - Interpretação numérica: um acréscimo de
unidade em aumenta em cerca de unidades; para pequenas variações, use a aproximação linear . - Conclusão: entre as três variáveis, a área plantada tem o maior efeito marginal positivo no ponto atual (em termos do valor absoluto fornecido).
Passo 7
Comentário sobre magnitude, unidades e validade:
- A magnitude (valor absoluto) indica a sensibilidade:
, então, no ponto considerado, é mais sensível a mudanças em , depois em , e menos (em módulo) a . - Cada derivada parcial tem unidades “unidades de
por unidade da variável” (por exemplo, se fosse toneladas, seria toneladas/°C). O enunciado não diz unidades, mas a interpretação permanece a mesma. - Essas conclusões são locais: valem para pequenas variações ao redor do nível atual. Para variações grandes, a relação pode ser não linear e as derivadas podem mudar.
Passo 8
Resumo didático e encorajador: o sinal negativo de
indica que aumentar a temperatura reduz a produção (ceteris paribus), enquanto os sinais positivos de
e
indicam que aumentar chuva ou área plantada aumenta a produção (ceteris paribus). Use a aproximação
para estimar pequenas mudanças combinadas.