1 Determinar f_{z} para f(x, y, z)=x \operatorname{sen}(y+3 z).

Passo 1

O enunciado pede para determinar f_{z} (a derivada parcial de f em relação a z) para a função
f(x,y,z)=x\,\operatorname{sen}(y+3z).
Informações dadas:
  • A função é de três variáveis x, y, z.
  • O termo trigonométrico é \operatorname{sen}(y+3z) (seno da expressão y+3z).
  • A pergunta é: calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}, isto é, a derivada parcial de f com respeito a z.

Passo 2

O que significa derivada parcial em relação a z: ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial z} tratamos x e y como constantes e diferenciamos apenas em função de z. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial z}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h},
mas na prática usamos regras de derivação (cadeia, produto) observando que x e y são constantes nesse processo.

Passo 3

Reescrevendo a função para ver a estrutura:
f(x,y,z)=x\cdot \operatorname{sen}\bigl(y+3z\bigr).
Aqui temos um produto entre x (que não depende de z) e g(z)=\operatorname{sen}(y+3z). Como x é constante em relação a z, a derivada parcial usa a propriedade
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\cdot g(z)\bigr)=x\cdot g'(z).
Ou seja, basta multiplicar x pela derivada de g(z).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para g(z)=\operatorname{sen}(u) com u=y+3z.
  • A derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é \cos(u).
  • A derivada de u=y+3z em relação a z é
\frac{du}{dz}=3,
pois y é constante e \dfrac{d}{dz}(3z)=3.
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dz}\operatorname{sen}\bigl(y+3z\bigr)=\cos\bigl(y+3z\bigr)\cdot 3.

Passo 5

Voltando à função original e usando o resultado do passo anterior:
\frac{\partial f}{\partial z}=x\cdot\frac{d}{dz}\operatorname{sen}\bigl(y+3z\bigr) = x\cdot\bigl(3\cos(y+3z)\bigr).
Simplificando,
\frac{\partial f}{\partial z}=3x\cos\bigl(y+3z\bigr).

Passo 6

Dica rápida para a prova: quando derivar parcialmente em relação a uma variável, marque mentalmente quais variáveis são tratadas como constantes. Aqui x e y ficaram constantes, então só foi preciso derivar a parte que depende de z e aplicar a regra da cadeia. Você consegue — respira e faz passo a passo!

Resposta

\frac{\partial f}{\partial z}=3x\cos\bigl(y+3z\bigr)

Exercícios relacionados