1 Determinar
para
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
(a derivada parcial de
em relação a
) para a função
Informações dadas:
- A função é de três variáveis
, , . - O termo trigonométrico é
(seno da expressão ). - A pergunta é: calcular
, isto é, a derivada parcial de com respeito a .
Passo 2
O que significa derivada parcial em relação a
: ao calcular
tratamos
e
como constantes e diferenciamos apenas em função de
. Formalmente,
mas na prática usamos regras de derivação (cadeia, produto) observando que
e
são constantes nesse processo.
Passo 3
Reescrevendo a função para ver a estrutura:
Aqui temos um produto entre
(que não depende de
) e
. Como
é constante em relação a
, a derivada parcial usa a propriedade
Ou seja, basta multiplicar
pela derivada de
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para
com
.
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é
pois
é constante e
.
Pela regra da cadeia,
Passo 5
Voltando à função original e usando o resultado do passo anterior:
Simplificando,
Passo 6
Dica rápida para a prova: quando derivar parcialmente em relação a uma variável, marque mentalmente quais variáveis são tratadas como constantes. Aqui
e
ficaram constantes, então só foi preciso derivar a parte que depende de
e aplicar a regra da cadeia. Você consegue — respira e faz passo a passo!