Um produto tem média de impureza de 0,735 \mathrm{~g}. Foi fabricado um novo produto para o qual se obteve em 20 determinações de impurezas média =0,710 \mathrm{~g} e s=0,0504 \mathrm{~g}. Pode este novo produto ser considerado mais puro que o anterior no nível de 95 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que seguir:
  • Impureza média do produto antigo: \,0,735\\ \mathrm{g}.
  • Para o novo produto foram feitas 20 determinações com média amostral \bar{x}=0,710\\ \mathrm{g} e desvio-padrão amostral s=0,0504\\ \mathrm{g}.
  • Pergunta: pode o novo produto ser considerado mais puro que o anterior ao nível de 95\% de confiança? (isto é, queremos saber se a verdadeira média de impureza do novo produto é menor que 0,735\\ \mathrm{g}).

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (mais puro = média menor):
H_0:\\ \mu = 0,735\quad\text{vs.}\quad H_1:\\ \mu < 0,735.
Explicação didática: H_0 é a hipótese nula que assume que não houve mudança na média de impureza; H_1 é a hipótese alternativa unilateral à esquerda (queremos detectar uma redução). Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena ( n=20), usamos o teste t de Student. Esse teste assume que as observações são independentes e que a população tem distribuição aproximadamente normal — quando n é pequeno essa hipótese de normalidade é importante.

Passo 3

Escolhemos a estatística de teste t. Fórmula do t (explicando cada termo):
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \bar{x} é a média amostral, \mu_0 é a média sob H_0, s é o desvio-padrão amostral e n é o tamanho da amostra. A distribuição desta estatística sob H_0 é a t de Student com \nu=n-1 graus de liberdade.

Passo 4

Calculamos o erro padrão da média (SE):
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,0504}{\sqrt{20}}.
Calcule \sqrt{20}: \sqrt{20}\approx 4,4721. Então
\mathrm{SE}\approx\frac{0,0504}{4,4721}\approx 0,011273.
Explicação prática: o SE diz quão incerta é a média amostral como estimativa da média verdadeira.

Passo 5

Calculamos a estatística t substituindo valores:
t=\frac{0,710-0,735}{0,011273}=\frac{-0,025}{0,011273}\approx -2,218.
Interpretação: um valor negativo indica que a média amostral está abaixo de \mu_0; quanto mais negativo, maior a evidência contra H_0 em favor de H_1.

Passo 6

Determinamos o valor crítico para o nível de significância \alpha=0,05 em um teste unilateral à esquerda com \nu=n-1=19 graus de liberdade. O valor crítico é
t_{\text{crítico}}=-t_{0,95,\,19}\approx -1,729.í
Regra de decisão: rejeitamos H_0 se t\le t_{\text{crítico}}\,(-1,729)í.

Passo 7

Comparação e decisão: temos t\approx -2,218 e t_{\text{crítico}}\approx -1,729í. Como
-2,218 \le -1,729,
rejeitamos H_0. Isso significa que, ao nível de 95\% de confiança, há evidência estatística de que a média de impureza do novo produto é menor que 0,735\\ \mathrm{g} — ou seja, o novo produto pode ser considerado mais puro.
Cálculo aproximado do valor-p (explicando o que é): o valor-p é a probabilidade, sob H_0, de observar um t tão extremo ou mais na cauda esquerda. Para t=-2,218 com \nu=19, o valor-p unilateral é aproximadamente 0,019 (bem menor que 0,05), reforçando a rejeição de H_0.

Passo 8

Observações finais e convite de prática: a conclusão depende da suposição de que as determinações são independentes e que a distribuição das impurezas é aproximadamente normal. Se quiser, eu te mostro rápida uma verificação visual (histograma/qq-plot) ou repito os cálculos com mais casas decimais — vamos juntos, tá indo bem!

Resposta

Sim. Rejeita-se H_0 ( t\approx -2,218 < -1,729, p\approx 0,019), logo há evidência, ao nível de 95\%, de que o novo produto é mais puro (média de impureza menor que 0,735\\ \mathrm{g}).

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