Um produto tem média de impureza de
. Foi fabricado um novo produto para o qual se obteve em 20 determinações de impurezas média
e
. Pode este novo produto ser considerado mais puro que o anterior no nível de
de confiança?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que seguir:
- Impureza média do produto antigo:
. - Para o novo produto foram feitas
determinações com média amostral e desvio-padrão amostral . - Pergunta: pode o novo produto ser considerado mais puro que o anterior ao nível de
de confiança? (isto é, queremos saber se a verdadeira média de impureza do novo produto é menor que ).
Passo 2
Formulamos as hipóteses do teste (mais puro = média menor):
Explicação didática:
é a hipótese nula que assume que não houve mudança na média de impureza;
é a hipótese alternativa unilateral à esquerda (queremos detectar uma redução). Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena (
), usamos o teste t de Student. Esse teste assume que as observações são independentes e que a população tem distribuição aproximadamente normal — quando
é pequeno essa hipótese de normalidade é importante.
Passo 3
Escolhemos a estatística de teste t. Fórmula do t (explicando cada termo):
onde
é a média amostral,
é a média sob
,
é o desvio-padrão amostral e
é o tamanho da amostra. A distribuição desta estatística sob
é a t de Student com
graus de liberdade.
Passo 4
Calculamos o erro padrão da média (SE):
Calcule
:
. Então
Explicação prática: o SE diz quão incerta é a média amostral como estimativa da média verdadeira.
Passo 5
Calculamos a estatística t substituindo valores:
Interpretação: um valor negativo indica que a média amostral está abaixo de
; quanto mais negativo, maior a evidência contra
em favor de
.
Passo 6
Determinamos o valor crítico para o nível de significância
em um teste unilateral à esquerda com
graus de liberdade. O valor crítico é
Regra de decisão: rejeitamos
se
.
Passo 7
Comparação e decisão: temos
e
. Como
rejeitamos
. Isso significa que, ao nível de
de confiança, há evidência estatística de que a média de impureza do novo produto é menor que
— ou seja, o novo produto pode ser considerado mais puro.
Cálculo aproximado do valor-p (explicando o que é): o valor-p é a probabilidade, sob
, de observar um t tão extremo ou mais na cauda esquerda. Para
com
, o valor-p unilateral é aproximadamente
(bem menor que
), reforçando a rejeição de
.
Passo 8
Observações finais e convite de prática: a conclusão depende da suposição de que as determinações são independentes e que a distribuição das impurezas é aproximadamente normal. Se quiser, eu te mostro rápida uma verificação visual (histograma/qq-plot) ou repito os cálculos com mais casas decimais — vamos juntos, tá indo bem!
Resposta
Sim. Rejeita-se
(
,
), logo há evidência, ao nível de
, de que o novo produto é mais puro (média de impureza menor que
).