Uma produtora de latas de alumínio precisa calcular os custos de energia na sua produção. Considerando que a massa de uma lata é em média \mathbf{1 4 , 5 ~ g}, qual é o seu custo relacionado a \mathbf{1 . 0 0 0} latinhas ( \mathbf{R \} \boldsymbol{/} \mathbf{m i l h e i r o} ), considerando um custo da energia igual a R\ / kW.h \mathbf{0 , 6 8} com a reação abaixo e para uma produção de \mathbf{2 . 0 0 0} latas por minuto, qual seria a conta de energia por ano (R$ / ano) desta produção somente com a reação de redução de alumínio em minério para o metal
\text { Semi - Reação: } \mathrm{Al}(\mathrm{~s}) \rightarrow \mathrm{Al}^{3+}(\mathrm{aq})+3 \mathrm{e}^{-}\left[\mathrm{E}_{o}=+1,670 \mathrm{~V}\right]çã

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e metas:
– Massa média de uma lata: \,14{,}5\;\mathrm{g}.
– Semirreação de redução do alumínio:
\mathrm{Al}^{3+}(aq)+3\,e^{-}\longrightarrow \mathrm{Al}(s), \quad E^\circ_{\text{red}}=-1{,}670\;\mathrm{V}.
– Custo da energia: \,0{,}68\;\mathrm{R\$}/\mathrm{kW\cdot h}.
  1. Calcular o custo de energia para produzir 1000 latinhas (R$/milheiro).
  2. Para uma produção de 2000 latas/minuto, calcular o custo anual de energia (R$/ano) apenas para essa reação.

Passo 2

Calcular quantos mols de \mathrm{Al} há em 1000 latas.
Massa total de alumínio:
m = 1000\times14{,}5\;\mathrm{g}=14\,500\;\mathrm{g}.
Massa molar do alumínio: M_{\mathrm{Al}}=26{,}98\;\mathrm{g/mol}.
Logo, número de mols de \mathrm{Al}:
n_{\mathrm{Al}} =\frac{m}{M_{\mathrm{Al}}} =\frac{14\,500}{26{,}98} \approx537{,}4\;\mathrm{mol}.

Passo 3

Pela reação, cada mol de \mathrm{Al} requer 3 mol de elétrons.
n_{e^-} =3\times n_{\mathrm{Al}} =3\times537{,}4 \approx1\,612{,}2\;\mathrm{mol}.
A carga total Q é dada por
Q =n_{e^-}\times F \quad\text{com}\quad F=96\,485\;\mathrm{C/mol},
portanto
Q \approx1\,612{,}2\times96\,485 \approx1{,}556\times10^{8}\;\mathrm{C}.

Passo 4

A energia elétrica mínima necessária (em joules) é
E_{\text{J}} =Q\times E_{\text{cell}} \quad\text{com}\quad E_{\text{cell}}=1{,}670\;\mathrm{V},
logo
E_{\text{J}} \approx1{,}556\times10^{8}\times1{,}670 \approx2{,}598\times10^{8}\;\mathrm{J}.

Passo 5

Converter joules em kilowatt-hora:
1\;\mathrm{kW\cdot h}=3{,}6\times10^{6}\;\mathrm{J},
E_{\mathrm{kWh}} =\frac{2{,}598\times10^{8}}{3{,}6\times10^{6}} \approx72{,}17\;\mathrm{kW\cdot h}.
Custo para 1000 latinhas:
C_{1000} =E_{\mathrm{kWh}}\times0{,}68 \approx72{,}17\times0{,}68 \approx49{,}09\;\mathrm{R\$}.

Passo 6

Produção anual para 2000 latas/minuto, assumindo 365 dias/ano:
minutos por ano =365\times24\times60=525\,600.
Total de latas por ano:
N_{\text{ano}} =2000\times525\,600 =1{,}0512\times10^{9}\;\text{latas}.
Energia por lata:
e_{\text{lata}} =\frac{72{,}17}{1000} \approx0{,}07217\;\mathrm{kW\cdot h}.
Energia anual:
E_{\text{ano}} =N_{\text{ano}}\times e_{\text{lata}} \approx1{,}0512\times10^{9}\times0{,}07217 \approx7,588\times10^{7}\;\mathrm{kW\cdot h}.
Custo anual:
C_{\text{ano}} =E_{\text{ano}}\times0{,}68 \approx7,588\times10^{7}\times0{,}68 \approx5,164\times10^{7}\;\mathrm{R\$}.

Resposta

Custo por milheiro: aproximadamente 49{,}1\;\mathrm{R\$}.
Custo anual para 2000 latas/min: aproximadamente 5,16\times10^{7}\;\mathrm{R\$}/\text{ano}.

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