Produzimos uma onda harmônica transversal com comprimento de onda de 0,2 \mathrm{~m} em uma corda esticada, propagando-se da esquerda para a direita a uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na origem, y(0,0)= -0,5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}. Se a magnitude da velocidade máxima de qualquer partícula na corda for \pi \mathrm{m} / \mathrm{s}, determine a equação da onda.
A) y(x, t)=10^{-2} \cos (10 \pi x-100 \pi t+2 \pi / 3)
B) y(x, t)=10^{-2} \cos (10 \pi x-100 \pi t+2 \pi / 6)
C) y(x, t)=10^{-2} \cos (10 \pi x-100 \pi t+2 \pi / 5)
D) y(x, t)=10^{-2} \cos (20 \pi x-100 \pi t+2 \pi / 3)
E) y(x, t)=10^{-2} \cos (10 \pi x-110 \pi t+2 \pi / 3)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • comprimento de onda: \lambda = 0,2\\ \mathrm{m}.
    • velocidade de propagação da onda: v = 10\\ \mathrm{m/s} (da esquerda para a direita).
    • deslocamento na origem no instante t=0: y(0,0) = -0,5\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
    • magnitude da velocidade máxima de uma partícula da corda: v_{\text{máx}} = \pi\\ \mathrm{m/s}á.
  • O enunciado pede: determinar a equação da onda (entre as alternativas A–E).
  • Observação importante que vamos usar: onda harmônica transversal viajando para a direita tem forma geral y(x,t)=A\cos\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),onde cada símbolo tem significado físico que vamos explicar e usar nos próximos passos.

Passo 2

Vou explicar as grandezas da fórmula e como obtê-las a partir dos dados.
  • A é a amplitude (máximo deslocamento da corda).
  • k é o número de onda, dado por k=\frac{2\pi}{\lambda},e tem unidades de \mathrm{rad/m}. Ele relaciona-se ao comprimento de onda: quanto menor \lambda, maior k.
  • \omega é a frequência angular, dada por \omega = 2\pi f,onde f é a frequência em Hz. Também vale a relação de propagação v=\frac{\omega}{k},ou equivalentemente \omega = vk.
  • \varphi é a fase inicial (em radianos) — determina o valor inicial da função no ponto x=0.
  • A velocidade vertical (velocidade de partícula) é a derivada temporal: \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\sin\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),portanto a magnitude máxima dessa velocidade é v_{\text{máx}} = A\omega,áporque o seno varia entre -1 e 1. Essa relação será usada para achar A.

Passo 3

Calcular k e \omega a partir de \lambda e v.
  • Primeiro k: k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0,2} = 10\pi\\ \mathrm{rad/m}.
  • Agora \omega usando \omega = vk: \omega = v k = 10\cdot(10\pi)=100\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Esses valores aparecem nas alternativas (vê-se 10\pi e 100\pi em várias opções).

Passo 4

Determinar a amplitude A usando a velocidade máxima de partícula.
  • Sabemos que v_{\text{máx}}=A\omegaá. Como v_{\text{máx}}=\pi\\ \mathrm{m/s}á e \omega=100\pi\\ \mathrm{rad/s}, A=\frac{v_{\text{máx}}}{\omega}=\frac{\pi}{100\pi}=\frac{1}{100}=10^{-2}\\ \mathrm{m}.á
  • Conclusão: a amplitude é A=10^{-2}\\ \mathrm{m}. Isso confirma que as alternativas com amplitude 10^{-2} são compatíveis.

Passo 5

Determinar a fase inicial \varphi usando y(0,0).
  • Em x=0 e t=0 temos y(0,0)=A\cos(\varphi).Substituindo y(0,0)=-0,5\times10^{-2}\\ \mathrm{m} e A=10^{-2}\\ \mathrm{m}, -0,5\times10^{-2}=10^{-2}\cos(\varphi).
  • Dividindo por 10^{-2}, \cos(\varphi)=-0,5.
  • Resolvendo \cos(\varphi)=-\tfrac{1}{2}: os ângulos no intervalo [0,2\pi) que satisfazem são \varphi=\frac{2\pi}{3}\quad\text{ou}\quad \varphi=\frac{4\pi}{3}.Ambos dão \cos(\varphi)=-1/2 e, portanto, satisfazem a condição de deslocamento inicial. Como as alternativas só apresentam \varphi=\tfrac{2\pi}{3} (e não \tfrac{4\pi}{3}), aceitaremos \varphi=\tfrac{2\pi}{3} porque coincide com a condição e aparece entre as opções.

Passo 6

Montar a equação completa e comparar com as opções.
  • Com A=10^{-2}, k=10\pi, \omega=100\pi e \varphi=\tfrac{2\pi}{3}, a equação é y(x,t)=10^{-2}\cos\bigl(10\pi x-100\pi t+\tfrac{2\pi}{3}\bigr).
  • Comparando com as alternativas, a alternativa A é exatamente essa expressão. As outras alternativas ou têm fase errada (B, C), ou têm k ou \omega incorretos (D, E).

Resposta

A) y(x,t)=10^{-2}\cos\bigl(10\pi x-100\pi t+\tfrac{2\pi}{3}\bigr)

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