Produzimos uma onda harmônica transversal com comprimento de onda de
em uma corda esticada, propagando-se da esquerda para a direita a uma velocidade de
. Na origem,
. Se a magnitude da velocidade máxima de qualquer partícula na corda for
, determine a equação da onda.
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- comprimento de onda:
. - velocidade de propagação da onda:
(da esquerda para a direita). - deslocamento na origem no instante
: . - magnitude da velocidade máxima de uma partícula da corda:
.
- comprimento de onda:
- O enunciado pede: determinar a equação da onda (entre as alternativas A–E).
- Observação importante que vamos usar: onda harmônica transversal viajando para a direita tem forma geral
onde cada símbolo tem significado físico que vamos explicar e usar nos próximos passos.
Passo 2
Vou explicar as grandezas da fórmula e como obtê-las a partir dos dados.
-
é a amplitude (máximo deslocamento da corda). -
é o número de onda, dado por e tem unidades de . Ele relaciona-se ao comprimento de onda: quanto menor , maior . -
é a frequência angular, dada por onde é a frequência em Hz. Também vale a relação de propagação ou equivalentemente . -
é a fase inicial (em radianos) — determina o valor inicial da função no ponto . - A velocidade vertical (velocidade de partícula) é a derivada temporal:
portanto a magnitude máxima dessa velocidade é porque o seno varia entre e . Essa relação será usada para achar .
Passo 3
Calcular
e
a partir de
e
.
- Primeiro
: - Agora
usando :
Esses valores aparecem nas alternativas (vê-se
e
em várias opções).
Passo 4
Determinar a amplitude
usando a velocidade máxima de partícula.
- Sabemos que
. Como e , - Conclusão: a amplitude é
. Isso confirma que as alternativas com amplitude são compatíveis.
Passo 5
Determinar a fase inicial
usando
.
- Em
e temos Substituindo e , - Dividindo por
, - Resolvendo
: os ângulos no intervalo que satisfazem são Ambos dão e, portanto, satisfazem a condição de deslocamento inicial. Como as alternativas só apresentam (e não ), aceitaremos porque coincide com a condição e aparece entre as opções.
Passo 6
Montar a equação completa e comparar com as opções.
- Com
, , e , a equação é - Comparando com as alternativas, a alternativa A é exatamente essa expressão. As outras alternativas ou têm fase errada (B, C), ou têm
ou incorretos (D, E).
Resposta
A)